Séminaire N. Bourbaki

Samedi 15 juin 2019

Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5^e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]

10h00

Marie THÉRET — Transition de phase abrupte en percolation via des algorithmes randomisés d'après Duminil-Copin, Raoufi et Tassion [PDF] [YouTube]
Le modèle de percolation classique est le suivant : pour un paramètre $p \in [0,1]$ fixé, chaque arête du graphe $\mathbf{Z}^d$ est conservée (resp. supprimée) avec probabilité $p$ (resp. $1-p$), indépendamment des autres arêtes. Il présente une transition de phase, i.e., il existe un paramètre critique $p_c$ tel que si $p<p_c$ alors p.s. toutes les composantes connexes du graphe aléatoire ainsi créé sont bornées, tandis que si $p>p_c$ alors p.s. il existe une unique composante connexe infinie dans ce graphe. Cette transition de phase est abrupte, au sens où pour $p<p_c$, non seulement la probabilité que l'origine du graphe soit reliée à un point à distance $n$ tend vers $0$, mais elle décroît vers $0$ exponentiellement vite en $n$. Ce résultat fondamental est connu depuis les années 80 grâce aux travaux de Menshikov et d'Aizenman et Barsky. Dans cet exposé nous présenterons une nouvelle preuve de ce résultat proposée par Duminil-Copin, Raoufi et Tassion et qui utilise des arbres de décisions. Leur approche est très robuste et peut s'adapter à de nombreuses variantes du modèle de percolation dans lesquelles le caractère abrupt de la transition de phase n'avait pas encore pu être démontré.

11h30

András STIPSICZ — Manolescu's work on the triangulation conjecture [PDF] [Slides] [YouTube]
The triangulation conjecture (asking whether a manifold is necessarily a simplicial complex) has been recently resolved in the negative by Ciprian Manolescu. His proof is based on work of Galweski–Stern and Matumoto, reducing the problem to three- and four-dimensional topology. Manolescu solved the low-dimensional problem by developing a new version of Floer homology, resting on the Seiberg–Witten equations and a symmetry of these equations. The resulting $\mathrm{Pin}(2)$-equivariant theory turned out to be a rich source of invariants, and similar ideas have been applied in Heegaard Floer homology. In the lecture we intend to put the problems into context, indicate the solution of Manolescu and draw attention to further developments based on these ideas.

14h30

Oscar RANDAL-WILLIAMS — Homology of Hurwitz spaces and the Cohen–Lenstra heuristic for function fields after Ellenberg, Venkatesh, and Westerland [PDF] [YouTube]
Ellenberg, Venkatesh, and Westerland have established a weak form of the function field analogue of the Cohen–Lenstra heuristic, on the distribution of imaginary number fields with $ell$-parts of their class groups isomorphic to a fixed group. They first explain how this follows from an asymptotic point count for certain Hurwitz schemes, and then establish this asymptotic by using the Grothendieck–Lefschetz trace formula to translate it into a difficult homological stability problem in algebraic topology, which they nonetheless solve. I will explain their argument, focussing on their remarkable homological stability theorem for Hurwitz spaces.

16h00

Tristan RIVIÈRE — Infinité d'hypersurfaces minimales en basses dimensions d'après Fernando Codá Marques, André Neves et Antoine Song [PDF] [YouTube]
Une conjecture de Shing Tung Yau du début des années 80 pose le problème de l'existence d'une infinité de surfaces minimales (points critiques de la fonctionnelle d'aire) immergées dans une variété riemannienne tridimensionnelle compacte et sans bord donnée. En explorant des problèmes de minmax sur les cycles $\mathbf{Z}_2$, posés par Misha Gromov et Larry Guth, au moyen de la théorie des varifolds presque minimisants de Frederick Almgren et Jon Pitts, Fernando Codá Marques et André Neves ont apporté une réponse positive à la conjecture de Yau et sa généralisation aux hypersurfaces minimales dans le cas des variétés de dimensions inférieures ou égales à 7, tout d'a bord sous des hypothèses de courbures de Ricci strictement positives puis, en collaboration avec Kei Irie, pour des métriques génériques. Enfin, en 2018, Antoine Song a résolu la conjecture dans sa plus grande généralité, pour des métriques quelconques, en dimension inférieure ou égale à 7. Dans cet exposé, nous nous efforcerons de décrire l'ensemble de ces travaux ainsi que les perspectives futures dans le calcul des variations de l'aire.