Séminaire Betty B.
J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment
aux plus jeunes. J'y demande à des collègues de présenter le contexte
mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki,
pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire
quelques outils ou des motivations plus lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.
Vendredi 19 octobre 2018
Le Séminaire Betty B. a lieu à l'École normale supérieure (salle W), 45 rue d'Ulm, Paris 5e. —
[Affiche]
[Résumés]
- 14h00
- Justin SALEZ — Spectres des grands graphes aléatoires dilués
Cet exposé est une introduction sans prérequis à l'analyse spectrale
des graphes aléatoires, dans le régime où le nombre de sommets
diverge mais où les degrés restent d'ordre constant. Après avoir
rappelé quelques-uns des modèles classiques de graphes aléatoires,
nous expliquerons comment la convergence au sens de Benjamini et
Schramm permet de réduire leur étude à celle de certains arbres
aléatoires infinis. Nous décrirons ensuite l'état de l'art sur le
spectre de ces objets limites, et terminerons par un aperçu des
grandes questions qui se posent encore, autour notamment du phénomène
de percolation quantique.
- 15h30
-
Juliette BAVARD — Introduction à la théorie de la petite simplification
La petite simplification est une propriété de « non recouvrement »
que vérifient certaines présentations de groupes. Elle permet de
mettre en évidence des propriétés de courbure négative dans les
groupes en question, dont on peut déduire de puissants résultats.
Introduite pour la première fois en 1949 par Tartakovskii, la
théorie de la petite simplification a par la suite connu des
développements ayant des applications dans de nombreux domaines,
notamment via la théorie géométrique des groupes.
Dans cet exposé, je présenterai les objets et propriétés de base
liés à la théorie de la petite simplification (graphe de Cayley,
groupes hyperboliques, lemme de Greendlinger, etc). Je donnerai
ensuite des exemples plus ou moins récents d'applications de cette
théorie.
Séminaire N. Bourbaki
Samedi 20 octobre 2018
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite),
11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e.
—
[Affiche] [Résumés]
- 10h00
-
Jean-Benoît BOST —
Réseaux euclidiens, séries thêta et pentes,
d'après W. Banaszczyk, O. Regev, S. Dadush, N. Stephens-Davidowitz,...
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[YouTube]
Au début des années 1990, Banaszczyk a introduit une technique puissante pour étudier les invariants classiques des réseaux euclidiens (tels que leurs minima successifs ou leur rayon de recouvrement) reposant sur l'utilisation des séries thêta
qui leur sont associées. Cette technique a joué un rôle important dans les constructions cryptographiques faisant appel à des réseaux euclidiens de grande dimension, notamment dans les travaux de Regev.
Les travaux récents de ce dernier, en collaboration avec Dadush et Stephens-Davidowitz, établissent des inégalités remarquables entre certains invariants classiques des réseaux euclidiens, leurs séries thêta et leurs pentes.
- 11h30
-
Romain DUJARDIN
—
Théorie globale du pluripotentiel, équidistribution et processus ponctuels,
d’après Berman, Boucksom, Witt-Nyström, etc.
[PDF]
[YouTube]
La théorie du pluripotentiel est un analogue dans $\mathbf C^n$ de la théorie classique du potentiel dans $\mathbf C$, qui prend ses racines dans l'électrostatique. Sa version globale, qui concerne les variétés complexes
compactes, a connu un développement
spectaculaire depuis une quinzaine d'années. Les allers-retours entre ces deux points de vue ont récemment permis de résoudre des problèmes classiques sur l'électrostatique et l'interpolation polynomiale dans $\mathbf C^n$ et inversement d'envisager une approche par la mécanique statistique de la construction de métriques canoniques en géométrie algébrique complexe.
- 14h30
-
Charles BORDENAVE
—
Normalité asymptotique des vecteurs propres de graphes $d$-réguliers aléatoires,
d'après Ágnes Backhausz et Balázs Szegedy
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[YouTube]
Soit $P$ l'ensemble des matrices symétriques de taille $n$ avec des entrées
dans $\{0,1\}$, nulles sur la diagonale et dont la somme de chaque ligne
est égale à $d$ (avec $dn$ pair). Un élément de $P$ est la matrice
d'adjacence d'un graphe
simple à $n$ sommets et $d$-régulier. Soient $A$ une matrice aléatoire
uniforme sur $P$ et $v$ un vecteur propre orthogonal au vecteur
constant. Dans l'asymptotique où $d$ est fixé et $n$ tend vers l'infini,
Backhausz et Szegedy ont notamment montré que la distribution des entrées du
vecteur $v$ est proche en loi d'une gaussienne. Leur preuve se base sur
la convergence locale des graphes et la théorie de l'information.
- 16h00
-
Anastasia KHUKHRO
—
Espaces et groupes non exacts admettant un plongement grossier dans un espace de Hilbert,
d'après Arzhantseva–Guentner–Špakula, Arzhantseva–Osajda, Osajda, et al.
[PDF]
[YouTube]
Dans l'étude des espaces métriques, c'est souvent la structure
géométrique grossière qui joue un rôle important. La théorie
géométrique des groupes a permis d'étudier efficacement les groupes
en tant qu'objets géométriques via leurs graphes de Cayley et dès
lors, les propriétés géométriques grossières des groupes ont eu
des implications profondes sur plusieurs conjectures importantes
en topologie et en analyse. Une façon de créer des exemples de
groupes intéressants pour ces conjectures est de plonger dans leurs
graphes de Cayley des suites de graphes finis dont on peut contrôler
la géométrie. Ces dernières peuvent également être construites à
l'aide de groupes, en prenant une suite de graphes de Cayley de
quotients finis d'un groupe et en utilisant les liens entre les
propriétés du groupe et les propriétés géométriques de ces graphes.
