Séminaire Betty B.

J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. J'y demande à des collègues de présenter le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.

24 janvier 2020

Le Séminaire Betty B. a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]

14h00
Jean-Philippe Rolin — Une introduction à la notion de structure o-minimale
La notion de structure o-minimale (et plus précisément d'extension o-minimale du corps des réels) peut être vue comme un candidat à l'idée d'A. Grothendieck de «géométrie modérée» exposée dans «l'Esquisse d'un Programme». Cette réponse, qui trouve ses origines dans la logique et la théorie des modèles, a donné lieu à des développements divers depuis son introduction par L. van den Dries en 1984. Nous proposons d'expliquer, outre les définitions initiales, diverses méthodes permettant de prouver l'o-minimalité de plusieurs structures, en lien avec les systèmes dynamiques, ainsi que plusieurs conjectures importantes. Nous évoquerons également les liens plus récents entre l'o-minimalité et la géométrie diophantienne.
15h30
Nalini Anantharaman — Fonctions propres du laplacien et leurs domaines nodaux
Nous énoncerons le théorème de diagonalisation du laplacien dans un domaine euclidien compact, puis démontrerons le théorème de Courant concernant le nombre de changements de signes d'une fonction propre. Enfin nous présenterons un argument dû à Brüning et Yau, donnant une borne inférieure sur la longueur des lignes nodales en dimension 2; ceci motive la conjecture de Yau dont il sera question au séminaire Bourbaki.

Séminaire N. Bourbaki

25 janvier 2020

Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]

10h00
Javier Fresán — Théorie de Hodge et o-minimalité d'après Bakker, Brunebarbe, Klingler et Tsimerman [PDF] [YouTube]
Une famille de variétés projectives lisses paramétrées par une variété complexe S donne lieu, par le biais de la théorie de Hodge, à une application holomorphe de S vers un quotient d'un ouvert d'une variété de drapeaux. Bien que la cible admette rarement une structure algébrique, ces applications dites de périodes ont un comportement modéré à l'infini: elles sont définissables dans la structure o-minimale engendrée par les fonctions analytiques restreintes et l'exponentielle réelle. J'expliquerai ce théorème et quelques-unes de ses applications: une nouvelle démonstration de l'algébricité des lieux de Hodge et une démonstration d'une conjecture de Griffiths selon laquelle les images des applications de périodes sont des variétés quasi-projectives. Une partie des résultats repose sur des progrès en géométrie o-minimale, notamment un théorème de type GAGA généralisant le théorème de Chow o-minimal de Peterzil-Starchenko.
11h30
Nicolas Tholozan — Phénomènes de type Ratner dans les variétés hyperboliques de volume infini d’après McMullen, Mohammadi, Oh, Benoist,… [PDF] [YouTube]
Parmi les nombreuses applications des travaux de Ratner sur l’équidistribution des flots unipotents, on trouve le théorème suivant : Soit $M$ une 3-variété hyperbolique complète de volume fini. Alors toute surface totalement géodésique immergée dans $M$ est soit fermée (et donc proprement immergée), soit dense dans $M$.
L’exposé présentera certains résultats récents de McMullen, Mohammadi, Oh et Benoist qui généralisent ce théorème à une large classe de variétés hyperboliques de volume infini : les variétés géométriquement finies et acylindriques. Leurs arguments s’inspirent de ceux développés par Margulis dans sa résolution de la conjecture d’Oppenheim.
14h30
Maxime Ingremeau — Volumes des ensembles nodaux de fonctions propres du laplacien d’après Logunov et Malinnikova [PDF] [YouTube]
Nous présenterons les travaux récents de Logunov et Malinnikova sur la conjecture de Yau. Celle-ci affirme que, sur une variété Riemannienne compacte $(X,g)$ de dimension $d$, le lieu d’annulation d’une fonction propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami de valeur propre $\lambda$ possède une mesure de Hausdorff $(d-1)$-dimensionnelle comprise entre $c\sqrt{\lambda}$ et $C \sqrt{\lambda}$, où $c$ et $C$ sont des constantes ne dépendant que de la variété $(X,g)$. Cette conjecture a été prouvée lorsque $(X,g)$ est une variété analytique par Donnelly et Feffermann. Lorsque $(X,g)$ est une surface non analytique, la borne inférieure a été obtenue par Brüning, tandis que Donnelly et Feffermann ont montré une borne supérieure en $\lambda^{3/4}$. Toutefois, sur une variété non-analytique de dimension $\geq 3$, les résultats connus étaient beaucoup moins précis : les meilleurs bornes inférieures disponibles ne tendaient pas vers l'infini quand $\lambda \to +\infty$, et les meilleures bornes supérieures (obtenues par Hardt et Simon) croissaient exponentiellement avec $\lambda$. En introduisant des arguments de nature combinatoire, Logunov et Malinnikova ont montré la borne inférieure de la conjecture en toute dimension, et ont obtenu des bornes supérieures polynomiales.
16h00
Pierre-Antoine Guihéneuf — Théorie de forçage des homéomorphismes de surfaces d'après Le Calvez et Tal [PDF] [YouTube]
En 1912 Brouwer publiait son théorème de translation, qui implique par exemple qu'un homéomorphisme du plan préservant l'orientation et ayant un point périodique possède aussi un point fixe. Ce théorème a donné lieu à bon nombre de développements, débouchant entres autres sur l'obtention par Le Calvez d'un feuilletage de Brouwer équivariant pour les homéomorphismes de surface homotopes à l'identité. Récemment, Le Calvez et Tal ont utilisé ce feuilletage pour construire une théorie de forçage par essence topologique qui, à l'instar du théorème de Brouwer, permet de déduire l'existence de nouvelles orbites à partir de certaines propriétés dynamiques de l'homéomorphisme. L'exposé décrira les principes généraux de cette théorie, ainsi que quelques unes de ses très nombreuses applications.

Sessions antérieures :

Session de novembre 2019

Session de juin 2019

Session de mars 2019

Brochure

Des brochures contenant les quatre exposés du Séminaire N. Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance ; 300 exemplaires seront disponibles au cours de cette session.

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Remerciements

Une subvention du CNRS couvre une partie des frais d'organisation de ce Séminaire.

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Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki
Institut Henri Poincaré
11 rue Pierre-et-Marie-Curie
75231 Paris cedex 05, FRANCE
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