Séminaire Betty B.
J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et
notamment aux plus jeunes. J'y demande à des collègues de présenter le contexte
mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki, pour les
rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus
lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.
15 novembre 2019
Le Séminaire Betty B. a lieu à l'Institut Henri
Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris
5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
- 14h00
- Martin VOGEL — L'instabilité spectrale des opérateurs non-autoadjoints
Des opérateurs linéaires non-autoadjoints apparaissent naturellement dans une multitude des problèmes,
comme par exemple dans la théorie de solvabilité locale des équations différentielles linéaires, dans la
théorie de stabilité des solutions à certaines équations différentielles non-linéaires, ou dans la physiques
quantiques. Le spectre d'un opérateur linéaire non-autoadjoint (contrairement au cas autoadjoint) peut être
très sensitif à des petites perturbations de l'opérateur. Ce phénomène est appelé en général « effet
pseudospectral ». Historiquement, cette instabilité spectrale était vue comme un adversaire à battre car elle
peut être à la source des erreurs numériques importantes, mais elle peut conduire aussi à des nouveaux
résultats intéressants. Cet exposé introduira la notion du pseudospectre, et décria comment l'instabilité
spectrale peut conduire à une universalité de la distribution spectrale des opérateurs pseudodifférentiels
non-autoadjoints soumis à des petites perturbations.
- 15h30
- Sylvain CROVISIER — La richesse des tangences homoclines
L’étude d’un système dynamique (par exemple les itérations d’un difféomorphisme de surface) passe
naturellement par la recherche de ses orbites périodiques, puis par celle de ses orbites homoclines (les
orbites convergeant dans le passé et le futur vers une même orbite périodique). Une condition de
transversalité en un point homocline entraine une grande richesse du système (l’entropie topologique est alors
positive). L’exposé décrira, au contraire, certaines propriétés dynamiques en présence d’une « tangence
homocline » : le système, qui peut être alors très simple, est particulièrement instable et ses perturbations
font apparaître (par renormalisation) l’étendue des phénomènes dynamiques.
Séminaire N. Bourbaki
16 novembre 2019
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré
(IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris
5e. —
- 10h00
-
Marie-Claude ARNAUD — La démonstration de la conjecture de l'entropie positive d'Herman
d'après Berger et Turaev [PDF] [YouTube]
À l'ICM en 1998, Michel Herman énonce sa conjecture
pour les difféomorphismes du disque qui préservent l'aire : dans tout voisinage de l'identité en topologie
$C^\infty$, il existe un difféomorphisme d'entropie métrique positive. En 2017, Berger et Turaev démontrent la
conjecture. Je situerai ce résultat parmi d'autres résultats et conjectures et expliquerai les idées
essentielles de la démonstration.
- 11h30
-
Vincent HUMILIÈRE — Un lemme de fermeture $C^\infty$
d'après Irie et Asaoka [PDF] [YouTube]
Nous présenterons le contexte ainsi que certaines des
idées menant à la démonstration par Asaoka et Irie du résultat suivant: $C^\infty$-génériquement, les orbites
périodiques d'un difféomorphisme hamiltonien d'une surface compacte sont denses. C'est une conséquence d'un
résultat analogue pour les flots de Reeb en dimension 3, obtenu par Irie et basé sur une théorie très
sophistiquée due à Hutchings, l'homologie de contact plongée. Nous verrons que le point clé de cette
démonstration est la « conjecture du volume », établie par Cristofaro-Gardiner, Hutchings et Ramos. Selon
celle-ci, le volume d'une forme de contact s'obtient comme limite de certains invariants extraits de
l'homologie de contact plongée que nous présenterons.
- 14h30
-
Karel PRAVDA-STAROV — Estimations de résolvante et localisation du spectre pour certaines
classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints
d'après Dencker, Sjöstrand et Zworski [PDF] [YouTube]
L’objet de l’exposé sera de présenter les travaux de
Dencker, Sjöstrand et Zworski sur le pseudo-spectre de certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels
semi-classiques non autoadjoints. L’étude des propriétés pseudo-spectrales d’un opérateur revient à étudier
les lignes de niveau de la norme de sa résolvante. Pour des opérateurs non autoadjoints, il s’agit d’un
problème non trivial, et ce même lorsque le spectre de ces opérateurs est connu. En effet, il n’y a aucun
contrôle a priori de la résolvante d’un opérateur non autoadjoint par son spectre, et la résolvante d’un tel
opérateur peut exploser en norme dans des régions non bornées de l’ensemble résolvant très éloignées du
spectre. Les travaux de Dencker, Sjöstrand et Zworski que nous présenterons montrent comment la théorie de
l’analyse microlocale et notamment des résultats de non résolubilité ou de sous-ellipticité, permettent
d’expliquer ces phénomènes de contrôle ou d’explosion de la résolvante pour certaines classes d’opérateurs
pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints.
- 16h00
-
Thierry GALLAY — Estimations pseudo-spectrales et stabilité des tourbillons plans
d'après Te Li, Dongyi Wei et Zhifei Zhang [PDF] [YouTube]
Lorsqu'on étudie la stabilité des écoulements
parallèles ou tourbillonnaires en mécanique des fluides, on observe que les effets de transport renforcent
considérablement la dissipation visqueuse. Cette interaction se traduit, au niveau de l'opérateur linéarisé,
par des propriétés pseudo-spectrales, souvent difficiles à établir en présence de termes non locaux. Dans un
travail récent, consacré aux tourbillons plans de profil gaussien, T.~Li, D.~Wei et Z.~Zhang obtiennent des
estimations optimales qui permettent de quantifier précisément l'effet stabilisateur dû à la rotation.
