Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
La notion de concentration de la mesure a été inventée au début des années 70 par V. Milman dans sa démonstration du théorème de Dvoretzky, qui est un résultat central en théorie locale des espaces de Banach. Elle est depuis devenue omniprésente, non seulement en analyse mais aussi en théorie des probabilités et en statistiques. Je présenterai d’abord les cas classiques de la mesure uniforme sur la sphère et de la mesure gaussienne. J’essaierai ensuite de mettre en lumière le rôle de la convexité dans les inégalités de concentration, en présentant par exemple le cas des mesures uniformément log-concaves (critère de Bakry–Émery). Enfin j’évoquerai la conjecture de Kannan, Lovasz et Simonovits, formulée dans les années 90, et qui postule une propriété de concentration universelle (c’est-à-dire indépendante de la dimension) des mesures log-concaves. J’essaierai en particulier d’expliquer pourquoi cette conjecture a pris une telle importance, en présentant quelques unes de ses conséquences pour la théorie asymptotique des corps convexes.
De nombreuses conjectures relatives aux nombres premiers sont pour le moment hors d’atteinte malgré leur énoncé élémentaire et les spectaculaires avancées obtenues ces dernières années. La conjecture des nombres premiers jumeaux énonçant l’existence d’une infinité de nombres premiers \(p\) tels que \(p+2\) soit aussi un nombre premier, en est une des plus célèbres. Dans cet exposé je présenterai des méthodes qui ont été développées pour progresser sur ces problèmes. J’évoquerai en particulier des cribles et des identités de convolution.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Comment couper un ensemble convexe de \(\mathbf{R}^n\) en deux parties de même volume en minimisant la surface de coupe ? Pour ce problème isopérimétrique, Kannan, Lovász et Simonovits ont conjecturé en 1995 que si l’on restreint l’infimum aux coupes le long d’un hyperplan, la valeur obtenue n’est modifiée que par une constante indépendante de la dimension. Cette conjecture a de nombreuses implications sur la géométrie des convexes de grande dimension.
Fin 2020, Yuansi Chen a démontré une version affaiblie de la conjecture où la constante universelle est remplacée par \(n^{o(1)}\), ce qui est une amélioration spectaculaire des bornes précédemment connues. Nous présenterons la preuve de Chen, qui raffine le processus de localisation stochastique dû à Eldan et Lee–Vampala, et exploite de manière efficace les outils du calcul stochastique.
Les problèmes ouverts les plus connus concernant les nombres premiers sont les problèmes additifs binaires, dont l’exemple le plus célèbre est la conjecture des nombres premiers jumeaux. W. Sawin et M. Shusterman ont résolu l’analogue de ces conjectures dans le cas des polynômes irréductibles sur un corps fini fixé, ainsi que le cas de degré 2 de la conjecture de Schinzel. L’exposé présentera le contexte de ces questions, et expliquera les méthodes utilisées par Sawin et Shusterman, qui combinent arithmétique et géométrie algébrique.
Une mesure cristalline est une mesure atomique sur \({\mathbb R}^n\) dont le support est localement fini et dont la transformée de Fourier au sens des distributions est également une mesure atomique portée par un ensemble localement fini. L’exemple le plus simple est le peigne de Dirac. Les mesures cristallines ont été définies et étudiées dès les années cinquante. Jean-Pierre Kahane et Szolem Mandelbrojt (1958) ont cherché à déterminer les fonctions méromorphes dans le plan complexe ayant un seul pole en \(s=1\) et qui vérifient le même type d’équation fonctionnelle que la fonction zeta. Ces auteurs montrèrent qu’une mesure cristalline est toujours attachée à une telle fonction méromorphe. Cette même année, André Guinand construisait des mesures cristallines très différentes des peignes de Dirac. Puis le sujet fut abandonné pendant près de trente ans. La découverte des quasicristaux par Don Shechtman en 1982 renouvela l’intérêt porté aux mesures cristallines. En premier lieu Nir Lev et Alexander Olevskii observèrent que la preuve donnée par Guinand était incomplète et construisirent une mesure cristalline sur la droite réelle qui ne se réduit pas à un peigne de Dirac. Nous verrons ensuite que la version discrètisée des mesures cristallines est reliée à un problème classique en traitement du signal et de l’image. Enfin les mesures cristallines sont présentes dans le problème suivant. Soient \(\Lambda\subset {\mathbb R}^n\) et \(F\subset {\mathbb R}^n\) deux ensembles localement finis. Une fonction \(f\) de la classe de Schwartz peut-elle être reconstruite en utilisant seulement sa restriction à \(\Lambda\) et la restriction de sa transformée de Fourier à \(F\) ? En résolvant ce problème Maryna Viazovska a, du même coup, trouvé la solution du problème de Kepler d’empilement des boules en dimension \(8\) et \(24\). Nous terminerons cet exposé par un théorème remarquable dû à D. Radchenko, A. Bondarenko et K. Seip. Il s’agit d’une variante, sans terme intégral, de la formule sommatoire de Riemann–Weil.
Des brochures contenant les exposés du Séminaire Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance.
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