Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Dans cet exposé élémentaire et introductif, nous commencerons par rappeler les trous spectraux linéaires, la notion de graphes expanseurs et ses motivations. Puis nous définirons les trous spectraux non linéaires et donnerons plusieurs exemples: la propriété (T) renforcée et ses applications, des travaux de Mendel et Naor sur les plongements de certains graphes expanseurs dans des espaces métriques, et enfin les trous spectraux non linéaires qui interviennent dans la preuve par Naor du théorème de John moyen.
L’hypothèse de Riemann précise la nature optimale de la distribution horizontale des zéros de la fonction zêta de Riemann dans le plan complexe. Elle a comme corollaire un énoncé plus élastique, l’hypothèse de Lindelöf, qui majore la croissance verticale de la fonction zêta sur la droite critique. Même cette dernière, plus faible, semble hors de portée à l’heure actuelle, et on appelle “borne sous-convexe’’ toute approximation non triviale apportant un progrès partiel. Le problème de sous-convexité pour zêta, résolu par Weyl et Hardy–Littlewood, est étroitement lié à un problème d’équirépartition sur le cercle ainsi que des sommes d’exponentielles. Des variantes plus modernes, où l’on cherche à établir des bornes sous-convexes pour des familles de fonctions \(L\) plus générales, interviennent dans des questions d’équirépartition arithmétiques de nature très profonde, telles que l’équirépartition des points spéciaux sur la courbe modulaire. Dans cet exposé on expliquera la progression de ces idées, qui ont alimenté les recherches en théorie analytique des nombres (et, indirectement, la théorie ergodique) au cours des dernières années.
Dans cet exposé, on présentera les solutions singulières de l’équation de Schrödinger semi-linéaire. Ces objets émergent naturellement dans la dynamique de cette équation. En effet, ils présentent une certaine forme d’autosimilarité et de stabilité. On expliquera la notion d’autosimilarité de part les symétries de l’équation. En particulier, on présentera le résultat de Bahri, Martel et Raphaël de 2021 qui construit un prototype de telles solutions. Cet exposé a été préparé en collaboration avec Charles Collot.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
In this lecture we shall discuss some geometric applications of the theory of nonlinear spectral gaps. Most notably, we will present a proof of a deep theorem of Naor asserting that for any norm \(\|\cdot\|\) on \(\mathbf{R}^d\), the metric space \((\mathbf{R}^d, \sqrt{\|x-y\|})\) embeds into Hilbert space with quadratic average distortion \(O(\sqrt{\log d})\). As a consequence, we will deduce that any n-vertex expander graph does not admit a \(O(1)\)-average distortion embedding into any \(n^{o(1)}\)-dimensional normed space.
The marked length spectrum rigidity question asks whether two closed negatively curved manifolds \(M\), \(N\) are isometric if they are homeomorphic with a homeomorphism which maps a closed geodesic on \(M\) to a curve on \(N\) which is freely homotopic to a closed geodesic of the same length. The lecture discusses the work of Guillarmou and Lefeuvre who used novel tools from microlocal analysis to give an affirmative answer to a local version of this question.
The subconvexity problem aims at providing non-trivial (ie. subconvex) bounds for central values of automorphic L-functions; the main conjecture in this area is the Generalized Lindeloef Hypothesis which itself is a consequence of the Generalised Riemann Hypothesis. This lecture will survey several advances that have been made on this question during the past ten years : these include the delta-symbol approach of R. Munshi, the Weyl type bounds of I. Petrow and M. Young (both use the Dirichlet \(L\)-series representation of the central values) and the work of P. Nelson and A. Venkatesh (who use the automorphic period representations for the central value).
This talk addresses the problem of singularity formation in solutions of the 3D compressible barotropic Navier-Stokes equation and of the energy supercritical defocusing nonlinear Schrödinger equation. I will explain the recent results of F. Merle, P. Raphaël, I. Rodnianski, and J. Szeftel that link this problem to the compressible Euler dynamics showing that in some range of parameters both models admit finite time blow up solutions governed by appropriate self-similar solutions of the underlying Euler equation. While for the compressible Navier-Stokes equation the existence of finite time blow up solutions was already known, for the nonlinear Schrödinger equation this is the first result of formation of singularities in the defocusing case.
Des brochures contenant les exposés du Séminaire Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance.
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