Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
En 1953, Roth démontra que tout ensemble d’entiers de densité supérieure positive contient des progressions arithmétiques de longueur trois, c’est à dire des solutions \((x,y,z)\) à l’équation \(x+y=2z.\) Ce théorème s’inscrit dans le cadre de la théorie de Ramsey qui assure l’existence de structures, ici additives, dans tout ensemble suffisamment gros. La démonstration du théorème de Roth est élégante et repose sur une idée naturelle : ne pas contenir de progressions arithmétiques pour un gros ensemble d’entiers révèle un défaut d’uniformité. Il s’agit ensuite d’exploiter ce biais pour obtenir des informations sur la structure de l’ensemble et in fine, une contradiction. L’analyse de Fourier discrète est utilisée dans l’argumentation, pour mesurer le défaut d’uniformité d’un ensemble et pour le lier à la concentration de l’ensemble sur de grandes progressions arithmétiques. Nous parcourrons la preuve de ce beau théorème en insistant sur le rôle fondamental que l’analyse de Fourier y joue. Nous expliquerons également la spécificité de l’équation \(x+y=2z\) (ensembles sans progression) et la différence avec les équations \(x+y=z\) (ensembles sans somme) et \(x+y=z+t\) (ensembles de Sidon) qui sont aussi des exemples centraux en combinatoire additive.
Les groupes de tresses ont été introduits par Emil Artin en 1925 et possèdent des incarnations dans divers domaines des mathématiques, tels que la théorie des nœuds, la théorie des représentations, la physique mathématique…L’une des généralisations possibles des groupes de tresses, de nature algébrique, est donnée par les groupes d’Artin (ou groupes d’Artin–Tits). Ceux-ci sont définis par générateurs et relations à partir d’un système de Coxeter arbitraire. On s’attend à ce que diverses propriétés algébriques des groupes de tresses se généralisent aux groupes d’Artin généraux. On conjecture par exemple qu’ils admettent une solution au problème des mots, sont sans torsion, ou encore que leur centre est trivial lorsqu’ils sont associés à un système de Coxeter infini et irréductible. Malgré d’importants progrès durant les cinquante dernières années, ces questions restent ouvertes pour les groupes d’Artin généraux. Nous présenterons quelques-unes de ces conjectures et questions, qui sont résolues dans le cas où le groupe d’Artin est de type sphérique, c’est-à-dire, associé à un système de Coxeter fini. Une façon de répondre à ces questions de façon essentiellement uniforme dans ce cas-là est de réaliser les groupes d’Artin comme groupes de Garside. Nous présenterons la combinatoire des groupes de Garside, et expliquerons pourquoi de tels groupes admettent une solution au problème des mots, sont sans torsion et possèdent un centre non trivial.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Considérons un groupe de Coxeter \(W\) affine, agissant par isométries sur l’espace euclidien \(\mathbb{R}^n\), ainsi que l’arrangement des hyperplans de ses réflexions. Le complémentaire \(Y_W\) du complexifié de cet arrangement dans \(\mathbb{C}^n\), quotienté par \(W\), a pour groupe fondamental le groupe d’Artin affine \(G_W\) associé à \(W\). La conjecture du \(K(\pi,1)\) affirme dans ce cas que l’espace \(Y_W\) est un espace classifiant pour \(G_W\). Elle a été démontrée récemment par Paolini et Salvetti, en s’appuyant sur les travaux de McCammond et Sulway. Nous présenterons des ingrédients de la preuve, qui repose notamment sur l’étude des structures de Garside duales pour les groupes d’Artin affines, les factorisations des isométries euclidiennes et la décortiquabilité des partitions non croisées affines. Une conséquence est que les groupes d’Artin affines, ainsi que les groupes cristallographiques tressés, ont un espace classifiant fini.
A famous conjecture of Erdős states that if \(S\) is a subset of the positive integers and the sum of the reciprocals of elements of \(S\) diverges, then \(S\) contains arbitrarily long arithmetic progressions. If one could prove, for each positive integer \(k\), sufficiently good bounds for the size of the largest subset of the first \(N\) integers lacking \(k\)-term arithmetic progressions, then Erdős’s conjecture would follow. There is thus great interest in the problem of proving the strongest possible bounds for sets lacking arithmetic progressions of a fixed length. In this talk, I will survey the recent advances of Bloom–Sisask on this problem for length three progressions and of Croot–Lev–Pach and Ellenberg–Gijswijt on the analogous problem in \(\mathbf{F}_3^n\) (the "cap set problem"). These two advances rely on very different techniques —Fourier analytic methods and a version of the polynomial method, respectively— and I will give an overview of both.
The subconvexity problem aims at providing non-trivial (ie. subconvex) bounds for central values of automorphic L-functions; the main conjecture in this area is the Generalized Lindeloef Hypothesis which itself is a consequence of the Generalised Riemann Hypothesis. This lecture will survey several advances that have been made on this question during the past ten years : these include the delta-symbol approach of R. Munshi, the Weyl type bounds of I. Petrow and M. Young (both use the Dirichlet \(L\)-series representation of the central values) and the work of P. Nelson and A. Venkatesh (who use the automorphic period representations for the central value).
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