Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Choquet-Bruhat), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Dans cet exposé introductif, nous évoquerons plusieurs questions de la géométrie énumérative réelle et présenterons la découverte faite par J.-Y. Welschinger d’un analogue réel d’invariants de Gromov–Witten de genre zéro. Les invariants de Welschinger proviennent d’un dénombrement signé de courbes rationnelles réelles et fournissent des bornes inférieures dans certains problèmes énumératifs. Nous parlerons aussi de différentes possibilités pour calculer les invariants de Welschinger, ainsi que de leurs propriétés.
La relativité générale est une théorie décrivant l’interaction gravitationnelle. Dans cette théorie, les équations d’Einstein décrivent comment un champ de matière induit un champ gravitationnel. Ces équations sont des équations d’onde non-linéaires : leurs solutions évoluent au cours du temps à partir de données initiales (il y a un problème de Cauchy bien posé associé aux équations d’Einstein), elles peuvent former des singularités en temps fini, etc. On connaît un certain de nombre de solutions stationnaires de ces équations : les solutions de Minkowski (l’équivalent de la solution nulle), les solutions de Schwarzschild et Kerr (qui contiennent un trou noir massif, respectivement sans et avec moment angulaire). L’une des questions les plus naturelles est : ces solutions stationnaires sont-elles des solutions stables des équations d’Einstein sous des petites perturbations de leurs données initiales ? Dans cet exposé, j’introduirai la relativité générale, les équations d’Einstein et leur problème de Cauchy, ainsi que les questions de stabilité asymptotique associées. Je détaillerai ensuite une preuve de stabilité asymptotique pour une équation d’onde non-linéaire simplifiée. Pour finir, j’évoquerai quelques aspects plus géométriques de la preuve de la stabilité de la solution de Minkowski.
L’objectif de cet exposé est de présenter le problème de Cauchy pour l’équation de Schrödinger non linéaire (NLS) avec des données initiales aléatoires, en particulier celles distribuées selon les champs gaussiens singuliers. La principale difficulté est la basse régularité des données initiales qui nous empêche d’appliquer la méthode déterministe. Nous introduirons d’abord le concept des champs gaussiens. Ensuite, nous nous concentrerons sur la deuxième itération de Picard et discuterons de l’ansatz de résolution classique de Bourgain ainsi que de l’ansatz raffiné de Deng–Nahmod–Yue.
Concernant le problème de la mesure invariante NLS en dimension \(3\), qui reste une question ouverte, nous expliquerons également un lien avec les enjeux dans la dérivation de l’équation cinétique dans la théorie de la turbulence des ondes.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
La turbulence d’onde est l’étude de l’évolution de la loi d’une solution d’une équation d’onde lorsque celle-ci a pour donnée initiale une variable aléatoire présentant certaines symétries. Cette loi vérifie une équation d’évolution dite cinétique par analogie avec les équations cinétiques de type Boltzmann. Un des enjeux de la turbulence d’onde est de dériver rigoureusement ces équations cinétiques. L’équation d’onde qu’on considère ici est l’équation de Schrödinger cubique. Dans cet exposé, on commencera par présenter les différents objets de la théorie, en s’appuyant sur l’exemple de l’équation de Schrödinger, puis on donnera une dérivation heuristique, provenant de la littérature physique, de l’équation cinétique associée. Cela permet d’exhiber l’équation cinétique mais la preuve de la dérivation rigoureuse emprunte un autre chemin que celui désigné par la dérivation heuristique. En particulier, la preuve repose sur une décomposition de la solution en arbres ou diagrammes de Feynman déjà présente dans la littérature physique. On présentera cette diagrammatique, la structure générale de la preuve, ainsi que quelques éléments de combinatoire y intervenant.
La métrique de Schwarzschild est une solution stationnaire et à symétrie sphérique des équations d’Einstein. Elle a été calculée en 1916, donc un an après la formulation de ces dernières, pour décrire le champ de gravitation créé par un corps sphérique. Ce n’est que bien des années plus tard qu’il a été compris que ces solutions pouvaient être étendues au delà d’une singularité de coordonnées, et que la région intérieure ainsi greffée décrivait un trou noir, région de l’espace-temps où la gravitation est si forte que la lumière elle-même y est piégée. La question fondamentale qui se pose ensuite est de savoir si l’objet trou noir est un artefact des symétries imposées pour calculer la solution, ou quelque-chose de bien réel. La dernière décennie nous a apporté de nombreuses réponses à cette question, à travers des observations physiques, mais aussi à travers des résultats mathématiques de stabilité non linéaire.
Les groupes hyperboliques au sens de Gromov ont des propriétés de finitude tout à fait remarquables, par exemple ceux qui sont sans torsion sont des groupes fondamentaux de complexes finis dont le revêtement universel est contractile (propriété \(F\)). Nous mettrons dans cet exposé en évidence que leurs sous-groupes peuvent avoir des propriétés de finitude exotiques: il existe des groupes hyperboliques contenant des sous-groupes finiment engendrés ayant des propriétés de finitude intermédaires (Llosa Isenrich et Py) ; il existe des groupes hyperboliques contenant des sous-groupes finiment engendrés ayant la propriété \(F\) mais n’étant pas eux-même hyperboliques (Italiano, Martelli et Migliorini). Ceci répond à des questions anciennes à propos des groupes hyperboliques et de leurs sous-groupes. Les deux résultats évoqués proviennent de constructions de fibrations, le premier en géométrie complexe et le second en géométrie hyperbolique. Nous en détaillerons les grandes lignes.
Les invariants de Gromov–Witten sont des nombres obtenus en comptant des courbes holomorphes dans une variété complexe ou symplectique donnée. On fixe le genre de ces courbes ainsi que la classe d’homologie qu’elles réalisent dans la variété et on pose des contraintes (par exemple le passage par une collection de points donnée) de sorte que le nombre de ces courbes soit fini. De manière plus précise, ces invariants sont donnés par l’intégrale de certaines formes différentielles sur un espace de modules de courbes holomorphes. Lorsqu’on essaie de définir un analogue réel de ces invariants on se retrouve devant un problème crucial : les espaces de modules de courbes holomorphes réelles ne sont pas orientables en général et donc l’intégrale de ces formes différentielles n’est pas bien définie.
Le but de l’exposé est d’introduire le concept de variété symplectique réellement orientable et de montrer que les espaces de modules de courbes holomorphes réelles dans une variété symplectique réellement orientable sont toujours orientables. Ceci amène à une théorie de Gromov–Witten réelle ainsi qu’à la définition d’un analogue en genre supérieur des invariants de Welschinger.
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