Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Une question fondamentale en géométrie riemannienne est de déterminer quelles variétés admettent une métrique riemannienne complète dont la courbure scalaire est en tout point strictement positive. La réponse à cette question est connue quand la variété est compacte de dimension inférieure ou égale à \(3\). Nous expliquerons différentes approches basées sur des travaux de Schoen–Yau, Gromov–Lawson, Perelman et Stern.
La mécanique statistique étudie le comportement typique de systèmes physiques avec un très grand nombre de particules. Cet exposé donnera une introduction au formalisme de la mécanique statistique quantique avec un accent sur les états de Gibbs de systèmes finis et infinies. Les concepts seront illustrés par l’exemple de la condensation Bose–Einstein.
Cet exposé introduira la notion de temps de mélange pour les chaînes de Markov sur des espaces d’états finis, ainsi que le phénomène de cutoff qui décrit une transition abrupte de la distance à l’équilibre pour ces chaînes. On présentera des méthodes qui ont été développées dans les trente dernières années afin d’obtenir des estimées quantitatives sur les temps de mélange, en particulier la méthode de Wilson et la méthode dite de path coupling. Cela sera illustré sur des exemples.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Une chaîne de Markov présente le phénomène de cutoff si sa distance à l’équilibre reste proche de \(1\) jusqu’à un certain temps, puis chute abruptement vers \(0\) en un temps bien plus court. Découvert dans les années 1980 dans le contexte des mélanges de cartes, ce phénomène a depuis été observé pour une très grande variété de chaînes. Cependant, le problème de l’identification des mécanismes sous-jacents au cutoff reste une des plus grandes questions dans le domaine des temps de mélange. À cet égard, l’article Cutoff for non-negatively curved Markov chains de Justin Salez constitue une avancée majeure. Premièrement, il établit un critère très général pour le cutoff, reposant sur la notion de varentropie, permettant de comprendre le cutoff comme un phénomène de concentration entropique. Deuxièmement, il montre que ce critère est vérifié pour une grande famille de chaînes: les chaînes à courbure positive satisfaisant une condition qui ne concerne que les ordres de grandeur des temps de mélange et de relaxation.
Un problème bien connu en géométrie est savoir quelles variétés admettent une métrique riemannienne de courbure scalaire strictement positive (PSC). De grandes avancées ont été obtenues dans les années 80 par Schoen–Yau et Gromov–Lawson, avec des techniques de surfaces minimales et de spineurs. Parmi les résultats obtenus dans cette période : une 3-variété compacte admet une métrique PSC si et seulement si sa décomposition en somme connexe n’admet pas de facteur asphérique (i.e. dont les groupes d’homotopie \(\pi_i\) sont nuls pour \(i>1\), ou de manière équivalente de revêtement universel contractible). Modulo la résolution de la conjecture de Géométrisation par Perelman, cela revient à dire que la variété est une somme connexe de quotients de \(S^3\) et de \(S^2 \times S^1\). En dimension supérieure, les tores \(T^n\) n’admettent pas de métrique PSC, ni plus généralement les variétés compactes à courbure sectionnelle négative ou nulle. Ceci a amené à conjecturer qu’une \(n\)-variété compacte asphérique n’admettait pas de métrique PSC.
Dans cet exposé je présenterai d’abord une preuve de cette conjecture en dimension \(4\) et \(5\) par Chodosh et Li. Leur démonstration utilise une nouvelle fonctionnelle introduite par M. Gromov, les \(\mu\)-bulles. Je présenterai ensuite une classification des n-variétés PSC suffisamment connexes en dimension \(4\) et \(5\), obtenue par Chodosh, Li et Liokumovich : un revêtement fini a le type d’homotopie de \(S^n\) ou de somme connexe de \(S^{n-1} \times S^1\).
Le contexte général de cet exposé est la question suivante : quels sont les groupes infinis de type fini qui sont caractérisés par la donnée de leurs quotients finis ? La relation d’équivalence associée est celle qui met dans la même classe les groupes possédant le même complété profini. On dit qu’un groupe possède la propriété de rigidité profinie (absolue) s’il est seul dans sa classe d’équivalence, autrement dit si tout groupe infini de type fini de même complété profini est isomorphe à celui-ci. Le problème de mettre en évidence des classes de groupes possédant cette rigidité est encore largement ouvert. On va présenter des constructions de groupes possédant la propriété de rigidité profinie absolue, ainsi que des résultats portant sur une version affaiblie de la rigidité profinie (relative à une classe restreinte de groupes mis en comparaison). Les techniques utilisées relèvent des représentations linéaires, de la géométrie hyperbolique de petite dimension, et d’arguments provenant de l’étude des groupes arithmétiques.
Dans une série de travaux récents, Lewin, Nam et Rougerie ont établi un lien rigoureux entre certaines mesures de Gibbs non linéaires classiques et certains états de Gibbs quantiques. Plus précisément, ils ont prouvé que les mesures de Gibbs non linéaires peuvent être obtenues à partir des états de Gibbs grand-canoniques du problème à \(N\) corps, dans une limite de champ moyen où la température \(T\) diverge et la constante de couplage tend vers zéro comme \(1/T\). Les cas bidimensionnels et tridimensionnels sont particulièrement difficiles en raison de la nécessité d’utiliser une procédure de renormalisation pour traiter l’émergence d’objets singuliers.
Des brochures contenant les exposés du Séminaire Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance.
Pour recevoir à l'avance le programme et les résumés de chaque séminaire, veuillez vous abonner en
envoyant un mail à
Pour recevoir les annonces des prochains séminaires : écrire un message à
cette adresse.
Vous pouvez aussi ajouter à vos calendriers électroniques les agendas hébergés sur le portail Indico : Séminaire Bourbaki du vendredi et Séminaire Bourbaki (format iCalendar)
Un soutien du CNRS couvre une partie des frais d'organisation de ce Séminaire.