Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
L'entrée est libre.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
En 2020, Kedlaya, Kolpakov, Poonen et Rubinstein ont obtenu une classification complète des tétraèdres dont tous les angles dièdres sont commensurables à \(4\pi\), répondant ainsi à un problème posé en 1976 par Conway et Jones. Avec un peu de géométrie analytique, cette question géométrique se traduit en une question arithmétique : déterminer les solutions d’une équation polynomiale de degré \(4\) en \(6\) variables dont toutes les composantes sont des racines de l’unité, c’est-à-dire une instance de l’analogue torique du problème de Manin–Mumford, résolu par Laurent en 1984. On en déduit en particulier que ces tétraèdres s’organisent en familles continues paramétrées par des polytopes compacts. En raison de la complexité de l’équation, qui a 105 monômes, la détermination explicite de ces familles est apparemment impossible par les méthodes usuelles inopérantes. Pour parvenir à leurs fins, Kedlaya, Kolpakov, Poonen et Rubinstein ont ainsi dû en combiner astucieusement plusieurs avec des calculs soigneux et massifs sur ordinateur.
En systèmes dynamiques, une surface de section est une surface qui intersecte toutes les trajectoires d’un flot. L’existence d’une telle surface a des conséquences majeures sur l’étude de ce flot.
Un livre ouvert est une décomposition topologique d’une variété de dimension \(3\). Lorsque cette décomposition est adaptée à un flot, elle fournit des surfaces de section. Les flots considérés dans ce contexte sont les flots de Reeb, des flots associés aux structures de contact et qui généralisent les flots hamiltoniens et le flot géodésique. Un théorème fondamental d’Emmanuel Giroux fait le lien entre structures de contact et livres ouverts.
Dans cet exposé, j’expliquerai la définition topologique de livre ouvert et les liens de cette décomposition avec les flots de Reeb. Enfin, j’énoncerai une version du théorème des livres ouverts de Giroux.
La théorie des systèmes d’Euler trouve ses origines dans le travail de 1986 par Thaine, qui a découvert une méthode pour borner des groupes de classes d’extensions abéliennes réelles de \(\mathbf{Q}\), en utilisant des unités cyclotomiques. Peu de temps après, Kolyvagin découvrit indépendamment une méthode similaire, utilisant les points de Heegner pour donner une borne sur le groupe de Tate–Shafarevic de certaines courbes elliptiques sur \(\mathbf{Q}\). Dans cet exposé, nous donnerons une introduction douce, basée sur ces exemples, à la théorie des systèmes d’Euler et esquisserons comment borner les groupes de Selmer en utilisant les classes dérivées des systèmes d’Euler (les systèmes dits de Kolyvagin).
Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.
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Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Étant donnée une variété de contact \((M,\xi)\) il existe plusieurs formes de contact \(\alpha\) définissant la même structure de contact \(\xi\). Le choix d’une telle forme \(\alpha\) induit une dynamique sur \(M\), grâce au champ de Reeb \(R_\alpha\) et au flot de Reeb associés. Pour une variété fermée orientée de dimension \(3\), Vincent Colin, Pierre Dehornoy et Ana Rechtman ont montré que chaque flot de Reeb non dégénéré est porté par un livre brisé, une généralisation de la notion de livre ouvert. Plus précisément, il existe un couple \((K,F)\) où \(K\) est une réunion finie d’orbites périodiques du flot et \(F\) est un certain feuilletage co-orienté de \(M \setminus K\) tel que la compactification de chaque feuille est une surface dont l’intérieur est plongé et positivement transverse au flot et dont le bord est contenu dans \(K\). Nous définirons une telle décomposition en livre brisé et expliquerons sa construction, qui repose sur la théorie de l’homologie de contact plongée (ECH) et la chirurgie de Fried pour des surfaces. L’existence de tels livres brisés a des conséquences dynamiques remarquables, notamment sur le nombre d’orbites périodiques et sur l’entropie topologique des flots de Reeb portés par une telle décomposition, ou encore sur l’existence d’une section de Birkhoff pour un flot de Reeb générique. Nous discuterons de telles applications, en faisant référence aussi aux travaux de Colin–Dehornoy–Hryniewicz–Rechtman et Contreras–Mazzucchelli.
L’homologie persistante s’est imposée comme un outil important en analyse topologique des données et a trouvé des applications nombreuses dans d’autres sciences mais aussi de plus en plus en mathématiques. Son développement s’est fait autour de l’idée de chercher un invariant calculable associé à une discrétisation d’un espace topologique suffisamment régulier. La structure qui décrit ces invariants est précisément celle d’un module de persistance. Dans l’exposé nous présenterons le théorème de structure de ces objets, qui exprime qu’ils sont encodés par des "codes barres" et les théorème de stabilité qui permettent de contrôler la différence entre les invariants d’un espace et ceux d’une approximation.
Puis nous expliciterons des problématiques actuelles que sont le cas de la persistance multi-paramétriques et la question centrale de l’information géométrique contenue dans les codes barres. Nous illustrerons les résultats présentés par des exmples d’applications intra ou extra-mathématique.
The Mordell conjecture, famously proven by Faltings, that an algebraic curve of genus greater than one has only finitely many rational points admits a geometric reformulation which then naturally generalizes to higher dimensional varieties giving the Mordell-Lang conjecture: if \(A\) is an abelian variety over the complex numbers, \(\Gamma \leq A(\mathbb{C})\) is a finite rank subgroup, and \(X \subseteq A\) is an algebraic subvariety, then \(\Gamma \cap X(\mathbb{C})\) is a finite union of cosets of subgroups of \(\Gamma\). The Mordell-Lang conjecture and related conjectures, such as the Manin-Mumford and Bogomolov conjectures, were proven already in the 1980s and 1990s and then the problem shifted to that of finding more effective descriptions and bounds for the intersections \(\Gamma \cap X(\mathbb{C})\). Earlier work of such people as Bombieri, Faltings, Mumford, Rémond, Vojta, Ullmo, and Zhang, amongst others, has produced some effective bounds that depend on the arithmetic of the problem, usually formulated in terms of various heights. The main theorems discussed in this lecture give bounds depending entirely on geometric data, such as the dimensions and degrees of \(X\) and \(A\) and the rank of \(\Gamma\). Interestingly, the new results are based on refinements of the arithmetic height inequalities already appearing in the earlier work together with a study of the so-called Betti map which takes into account the real analytic geometry of universal families of abelian varieties. This is a report on work of several mathematicians including, but not limited to, Cantat, Dimitrov, Gao, Ge, Habegger, Kühne, Masser, Xie, Yuan, Zannier, and Zhang.
La méthode des systèmes d’Euler est une technique pour borner les groupes de Selmer des représentations galoisiennes \(p\)-adiques en termes de classes de cohomologie qui forment un analogue algébrique des fonctions \(L\). Depuis les travaux initiaux de V. Kolyvagin, K. Rubin et K. Kato, qui constituent les cas du groupe multiplicatif et de \(\operatorname{GL}_{2}\), elle a connu un développement spectaculaire dans diverses directions : extensions des systèmes d’Euler en familles universelles, constructions de systèmes d’Euler pour des nombreux autres groupes réductifs (produits de Rankin-Selberg de représentations automorphes, \(\operatorname{GSp}_{4}\)...), méthode des congruences d’élévation du niveau et systèmes bipartis, raffinement des applications en théorie d’Iwasawa... Nous présenterons certaines de ces avancées.
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