Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Dans cet exposé, nous discuterons de plusieurs types de convergence de graphes aléatoires. Nous détaillerons en particulier la convergence de Benjamini–Schramm et ses conséquences sur la mesure empirique des valeurs propres. Comme corollaire de cette approche, nous prouverons la convergence de la mesure empirique des valeurs propres des \(\beta\)-ensemble vers le demi-cercle de Wigner.
I will present the simple concept of two-prover games which has been extremely fruitful in complexity theory and in quantum information. In complexity theory, one way of stating the famous PCP theorem is that computing the optimal winning probability of two-prover games, even approximately, is hard. In quantum information, Bell’s celebrated theorem can be phrased as a two-prover game for which there is a quantum strategy achieving a winning probability that is strictly larger than any classical strategy. I will try to present these two points of view.
Je présenterai les anneaux perfectoïdes introduits par Peter Scholze en 2010 (mais déjà implicitement présents dans des travaux antérieurs de Colmez, Fontaine, Wintenberger…) et une partie de leurs nombreuses applications. J’essaierai notamment d’expliquer en quel sens certains théorèmes grossièrement faux dans le cadre des anneaux noethériens deviennent presque vrais dans le monde perfectoïde, et l’intérêt que cela peut avoir.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
La conjecture du facteur direct de Hochster (énoncée dans les années 70) est un énoncé d’algèbre commutative de nature apparemment anodine: si \(B\) est une extension finie d’un anneau commutatif noethérien régulier \(A\), alors \(A\) est un facteur direct de \(B\) en tant que \(A\)-module. Cette conjecture fait partie d’un faisceau de conjectures connues sous le nom de « conjectures homologiques », avec des implications frappantes en géométrie algébrique. Après la percée de Raymond C. Heitmann en 2002, qui a démontré la conjecture pour \(\dim A\leq 3\), Yves André a démontré la conjecture du facteur direct en 2016. Peu de temps après Bhargav Bhatt a fourni une preuve plus simple. Les deux démonstrations utilisent de manière cruciale la théorie des espaces perfectoïdes de Peter Scholze, et le but de l’exposé est d’expliquer les principaux ingrédients de la preuve, ainsi que les raffinements obtenus ultérieurement par André et Bhatt.
Un graphe fini est dit Ramanujan si sa matrice d’adjacence possède un trou spectral maximal, ce qui lui assure d’excellentes propriétés de graphe expanseur. À partir d’une famille de permutations aléatoires, Bordenave et Collins construisent une suite de graphes aléatoires presque Ramanujan. Cette propriété peut dans ce cas se reformuler en termes de convergence forte en probabilités libres. L’exposé sera l’occasion de présenter les résultats connus de convergence forte et quelques-unes de leurs applications. Nous insisterons par ailleurs sur un outil important de leur preuve, l’opérateur non-backtracking associé à l’opérateur d’adjacence pondéré d’un graphe. Nous expliquerons comment le spectre de ces deux opérateurs est relié et évoquerons son usage pour l’étude des graphes aléatoires.
En 1976, Connes demande si toute algèbre de von Neumann finie se plonge dans un ultraproduit d’algèbres de matrices. En 1980, Tsirelson demande si, dans la formulation mathématique de la mécanique quantique, autoriser des espaces de Hilbert de dimension infinie change fondamentalement le modèle. En 1993, Kirchberg conjecture que le produit tensoriel de deux copies de la \(C^*\)-algèbre pleine du groupe libre de rang infini dénombrable peut être muni d’une unique norme de \(C^*\)-algèbre. De manière surprenante et non triviale, ces trois problèmes sont en fait équivalents, c’est maintenant bien compris. Ces problèmes viennent d’être résolus, par la négative, avec des méthodes d’informatique : calculabilité, complexité, et informatique quantique. Je ferai de mon mieux pour raconter les grandes lignes de cette très longue preuve.
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