Séminaire Bourbaki du vendredi

Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.

31 mars 2023

Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]

14h
Romain Tessera — Limites d'actions de groupes sur des espaces hyperboliques

Dans cet exposé introductif, nous tenterons d’expliquer dans les grandes lignes des notions introduites indépendamment par Paulin et Bestvina à la fin des années 80. L’idée est de considérer une topologie naturelle sur un ensemble d’espaces métriques munis d’actions par isométries d’un groupe fixé \(G\). Dans les exemples qui nous intéressent, ces espaces sont hyperboliques au sens de Gromov, et nous nous intéresserons tout particulièrement aux points d’accumulation, qui sont des arbres réels.

15h
Mirna Džamonja — Les axiomes de forcing

Le forcing est une méthode qui permet de passer d’un univers (modèle) \(V\) de la théorie de ZFC des ensembles, à un autre \(V[G]\), enrichi par un nouvel objet générique\(G\) qui est construit à partir d’approximations organisées par un ordre partiel, nommé l’ordre de forcing. Le mot générique signifie que \(G\) est choisi de la manière à assurer un certain nombre de conditions, qui sont exprimées en ayant une intersection non-vide avec des ensembles dits denses. À la différence des constructions inductives, où l’existence de l’objet construit par les approximations organisées sur un bon ordre est assuré par les principes de ZFC, les constructions organisées par un ordre partiel ne donnent pas lieu en général à un objet générique qui existe dans le même univers de ZFC. Pour cette existence, il faut payer le prix en enrichissant l’univers (cela ressemble à la théorie de Galois), d’où le passage à \(V[G]\). Néanmoins, il est possible d’avoir des univers de ZFC qui sont saturés par rapport de l’existence de quelques-uns de ces génériques. Par exemple, un univers qui satisfait l’Axiome de Martin (MA), possédera un objet générique pour tout forcing avec la propriété ccc et pour toute famille d’ensembles denses qui est de cardinalité \(\aleph_1\).

La cohérence de ZFC implique la cohérence de ZFC+MA et, avec des hypothèses plus fortes que la cohérence de ZFC, on peut obtenir la cohérence de modèles qui vérifient des axiomes encore plus forts que MA.

L’exposé expliquera quelques-uns de ces axiomes et leurs conséquences, notamment sur l’hypothèse du continu.

16h30
Maxime Bourrigan — Homologie de Morse et simplicité de groupes de transformations

Nous présenterons deux « miniatures » évoquant certains aspects du théorème énoncé dans le titre de l’exposé d’Étienne Ghys.

Nous aborderons d’abord le thème de la simplicité des groupes d’homéomorphismes et de difféomorphismes à travers le cas du cercle, déjà étonnamment subtil.

Dans un deuxième temps, nous introduirons l’homologie de Morse, une manière de calculer l’homologie d’une variété à partir d’une fonction définie dessus, et plus précisément à partir de l’étude dynamique de son gradient. Cette construction est une espèce de modèle réduit de l’outil crucial pour le théorème de Cristofaro-Gardiner, Humilière et Seyfaddini : l’homologie de Floer.

Séminaire Bourbaki

1 avril 2023

Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]

10h
Jonathan Hickman — Pointwise convergence for the Schrödinger equation , after Xiumin Du and Ruixiang Zhang [PDF] [Live IHP]

For an initial datum \(f \in L^2(\mathbf{R}^n)\), consider the linear Schrödinger equation \[\left\{ \begin{array}{l} i u_t - \Delta_x u = 0, \\ u(x,0) = f(x) \end{array} \right. \qquad (x,t) \in \mathbf{R}^n \times \mathbf{R}.\] In 1980, Carleson asked which additional conditions on \(f\) guarantee

\[\label{pointwise} \lim_{t \to 0} u(x,t) = f(x) \qquad \text{for almost every } x \in \mathbf{R}^n. \tag{$\star$}\]

More precisely, what is the minimal Sobolev regularity index \(s\) such that [pointwise] holds whenever \(f \in H^s(\mathbf{R}^n)\)?

Whilst the \(n=1\) case was fully understood by the early 1980s, in higher dimensions the situation is much more nuanced. Nevertheless, a recent series of dramatic developments brought about an almost complete resolution of the problem. First Bourgain (2016) produced a subtle counterexample demonstrating that pointwise convergence can fail for certain \(f \in H^s(\mathbf{R}^n)\) with \(s < \tfrac{n}{2(n+1)}\). Complementing this, convergence was then shown to hold for \(s > \tfrac{n}{2(n+1)}\) when \(n=2\) in a landmark paper of Du, Guth and Li (2017) and later in all dimensions in equally important work of Du and Zhang (2019).

This seminar will explore the positive result of Du and Zhang (2019). The argument combines sophisticated modern machinery from harmonic analysis such as the multilinear Strichartz estimates of Bennett, Carbery and Tao (2006) and the \(\ell^2\) decoupling theory of Bourgain and Demeter (2015). However, equally important are a variety of elementary guiding principles, rooted in Fourier analysis, which govern the behaviour of solutions to the Schrödinger equation. The talk will focus on these basic Fourier analytic principles, building intuition and presenting a powerful toolbox for tackling problems in modern PDE and harmonic analysis.

11h30
Matteo Viale — Strong forcing axioms and the continuum problem , following Aspéro's and Schindler's proof that MM + + implies Woodin's Axiom (*) [PDF] [Live IHP]

A topological approach to forcing axioms considers them as strong forms of the Baire category theorem; an algebraic approach describes certain properties of “algebraic closure” for the universe of sets that can be derived from them. Our goal is to show how the theorem of Aspéro and Schindler links the geometric and algebraic points of view. Drawing on Gödel’s program, we connect these mathematical results to the philosophical debate on what could constitute a viable solution of the continuum problem.

14h30
Clara Löh — Exponential growth rates in hyperbolic groups , after Koji Fujiwara and Zlil Sela [PDF] [Live IHP]

A classical result of Jørgensen and Thurston shows that the set of volumes of finite volume complete hyperbolic \(3\)-manifolds is a well-ordered subset of the real numbers of order type \(\omega^\omega\); moreover, they showed that each volume can only be attained by finitely many isometry types of hyperbolic \(3\)-manifolds.

Fujiwara and Sela established a group-theoretic companion of this result: If \(\Gamma\) is a non-elementary hyperbolic group, then the set of exponential growth rates of \(\Gamma\) is well-ordered, the order type is at least \(\omega^\omega\), and each growth rate can only be attained by finitely many finite generating sets (up to automorphisms).

In this talk, I will outline this work of Fujiwara and Sela and discuss related results.

16h
Étienne Ghys — Le groupe des homéomorphismes de la sphère de dimension \(2\) qui respectent l’aire et l’orientation n’est pas un groupe simple , d’après D. Cristofaro-Gardiner, V. Humilière et S. Seyfaddini [PDF] [Live IHP]

Depuis la fin des années 1970, on sait que la composante neutre du groupe des difféomorphismes à support compact d’une variété connexe est un groupe simple. Dans le cas difféomorphismes qui préservent une forme volume ou une forme symplectique, on dispose d’un résultat analogue : il a alors un sous-groupe « évident » qui est simple. Pour les homéomorphismes qui respectent le volume, la situation est comprise lorsque la dimension est supérieure ou égale à 3. Le cas des surfaces, et tout particulièrement de la sphère de dimension 2, a résisté à de nombreux efforts depuis une quarantaine d’années. Le théorème de D. Cristofaro-Gardiner, V. Humilière et S. Seyfaddini est une surprise : le groupe des homéomorphismes de la sphère de dimension \(2\) qui respectent l’aire et l’orientation n’est pas un groupe simple. La démonstration est un tour de force et fait largement usage de l’homologie de Floer périodique. J’essaierai de présenter le contexte ainsi que les grandes lignes de ce beau résultat.

Sessions antérieures :

Session de janvier 2023

Session de novembre 2022

Session de juin 2022

Brochure

Des brochures contenant les exposés du Séminaire Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance.

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Remerciements

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