Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
L’espace des modules de courbes classifie les surfaces de Riemann à isomorphisme près. Les éléments des groupes de cohomologie de cet espace sont des « classes caractéristiques », c’est-à-dire des classes universelles qui définissent des invariants de familles de surfaces paramétrisées. Il est cependant difficile de construire de telles classes caractéristiques, à part certaines classes « tautologiques ». Dans cet exposé introductif, j’expliquerai une construction ancienne de Kontsevich, inspirée de la physique, pour construire des classes caractéristiques. Cette construction utilise les complexes de graphes, un analogue mathématique des diagrammes de Feynman à la base (entre autres) des nouvelles constructions de classes caractéristiques.
The \(P=W\) conjecture states the equality of two filtrations of very different origin on the cohomology of the moduli space of representations of the fundamental group of a compact complex curve. This has been recently proved by Maulik-Shen and Hausel-Mellit-Minets-Schiffmann, under the assumption that the moduli space is smooth. In this talk I will discuss motivations for the conjecture, and present some toy examples.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Soit \(G\) un groupe réductif sur un corps local non-archimédien \(F\). Pour les questions de classification des représentations lisses irréductibles de \(G\), l’étude des représentations supercuspidales – celles dont les coefficients matriciels sont à support compact modulo le centre – est en quelque sorte le noyau dur. Les progrès dans cette étude ont été continus depuis cinquante ans. Dans des cas « modérés » où la caractéristique résiduelle de \(F\) est suffisamment grande relativement à \(G\), on disposait depuis 2001 d’une construction fort générale de représentations supercuspidales, décrite par J-K. Yu sur la base de nombreux travaux antérieurs. Mais les avancées récentes ont rendu le tableau beaucoup plus complet et beaucoup plus clair. Par exemple, les travaux de J. Fintzen, T. Kaletha et L. Spice fournissent (dans le cas modéré) une classification des représentations supercuspidales, une formule explicite pour « presque tous » leurs caractères, ainsi qu’une correspondance de Langlands explicite pour les paquets entièrement supercuspidaux. Bien que les constructions s’appuient de façon cruciale sur les représentations de groupes finis et la géométrie des immeubles, les formules de caractère et la description des paquets de Langlands présentent des parallèles saisissants avec le cas des groupes réels.
Les travaux de Wiles sur le théorème de Fermat ont mis en évidence la puissance des méthodes \(p\)-adiques pour prouver l’existence de prolongements analytiques de fonctions \(\zeta\) et \(L\) complexes. Ces méthodes se sont considérablement sophistiquées et ont débouché, ces dernières années, sur une moisson de beaux résultats: conjecture de Hasse–Weil pour les courbes de genre \(2\), holomorphie des fonctions \(L\) des puissances symétriques de formes modulaires, etc. Nous présenterons certaines de ces avancées.
The non-abelian Hodge theorem gives a diffeomorphism between the moduli space of Higgs bundles on a smooth projective complex curve and the character variety of (twisted) representations of its fundamental group. The \(P = W\) conjecture of de Cataldo, Hausel and Migliorini predicts that via the corresponding isomorphism on cohomology, the perverse filtration for the Hitchin fibration on the Higgs moduli space is identified with the weight filtration of the mixed Hodge structure on the character variety.
We will discuss two (recent) proofs of the \(P = W\) conjecture due to Maulik–Shen and Hausel–Mellit–Minets–Schiffmann. Since the cohomology of the Higgs moduli space is generated by tautological classes (Markman) and their weights on the character variety are known (Shende), the \(P = W\) conjecture reduces to describing the interaction between the tautological classes and the perverse filtration. The proof of Maulik–Shen combines support theorems for meromorphic Hitchin fibrations (after Ngô and Chaudouard–Laumon), vanishing cycle techniques and Yun’s global Springer theory, which allows them to determine the strong perversity of tautological classes by pulling back to a parabolic Higgs moduli space. The proof of Hausel–Mellit–Minets–Schiffmann shows the \(P\)- and \(W\)-filtrations both agree with a third representation-theoretic filtration for an \(\mathfrak{sl}_2\)-triple in a Lie algebra of polynomial Hamiltonian vector fields, which acts on the cohomology via Hecke operators and cup products by tautological classes.
Notre connaissance de la cohomologie singulière de l’espace de modules \(\mathcal{M}_g\) des courbes lisses de genre \(g\) est lacunaire. Pire encore, jusqu’à très récemment, les résultats à notre disposition semblaient pointer dans des directions contradictoires : les groupes de cohomologie de \(\mathcal{M}_g\) sont nuls en degré supérieur à \(4g-5\), de dimension au plus exponentielle en \(\sqrt{g}\) en degré inférieur à \(2g/3\), mais sa caractéristique d’Euler croît plus vite qu’une exponentielle en \(g\) ! Nous présenterons des travaux récents qui permettent d’exhiber de nouveaux exemples de groupes non nuls dans la cohomologie de \(\mathcal{M}_g\), et même certaines familles, pour des degrés de la forme \(4g-k\), avec \(k\) fixé, dont la dimension présente une croissance au moins exponentielle en \(g\). La démonstration repose sur des liens précis établis entre la cohomologie de l’espace de modules des courbes et celle de variantes de nature combinatoire : espace de modules des courbes tropicales (graphes métriques pondérés) et complexes de graphes de M. Kontsevich.
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