Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
L'entrée est libre.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Pourquoi la somme \(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2n+1)^3\), dont la définition semble pourtant si proche de \(\zeta(3)\), est-elle un multiple rationnel de \(\pi^3\) ? C’est à ce genre de questions que permet de répondre la conjecture de Deligne (1979) sur les valeurs de fonctions \(L\) motiviques. Ces fonctions généralisent et unifient des objets fondamentaux en théorie des nombres tels que la fonction zêta de Riemann ou la fonction L d’une forme modulaire. Elles sont associées à des variétés algébriques définies par des équations à coefficients rationnels (ou plus généralement à des morceaux découpés géométriquement dans leur cohomologie) en rassemblant dans un produit sur les nombres premiers des séries génératrices de comptages de points. La conjecture de Deligne prédit un lien entre les valeurs des fonctions \(L\) motiviques en certains entiers dits « critiques » et les périodes, c’est-à-dire les intégrales de formes différentielles algébriques sur des domaines définis par des inéquations polynomiales. J’expliquerai l’énoncé général et je l’illustrerai en traitant en détail les exemples des fonctions \(L\) de Dirichlet et des fonctions \(L\) de formes modulaires.
Le théorème de Pitman de 1975 affirme que si \(B\) est un mouvement brownien réel, et \(I\), au temps \(t\), l’infimum de \(B\) sur \([0,t]\), alors le processus \(B-2I\) a la même loi qu’un processus de Bessel de dimension 3. Un groupe de Coxeter, le plus simple d’entre eux, celui de type \(A_1\), joue dans le théorème un rôle important. Dans les années 2000, Philippe Biane, Philippe Bougerol et Neil O’Connell ont introduit une transformation de Pitman généralisée définie pour tout groupe de Coxeter de cardinal fini et proposé un théorème de Pitman valable pour n’importe lequel de ces groupes.
Biane, Bougerol et O’Connell ont montré que la transformation de Pitman généralisée jouait un rôle essentiel dans le modèele des chemins de Littelmann. Ce modèle appartient à la théorie combinatoire des représentations, et le théorème de Pitman au vaste champ des probabilités dites intégrables. Dans ce domaine, la correspondance de Robinson—Schented—Knuth, dont le modèle de chemins fournit une généralisation, est l’outil de prédilection pour comprendre certains modèles aléatoires comme les modèles de particules en interaction ou la percolation de dernier passage. Nous présenterons les résultats de Biane, Bougerol et O’Connell en tâchant, le plus souvent possible, de préciser comment ils s’interprètent dans le contexte de ces modèles.
Ramsey’s theorem in its most basic form states that for every \(k\) there exists \(k\) such that if the edges of a complete graph with \(n\) vertices are coloured red or blue, then there must be \(k\) vertices joined entirely by red edges or \(k\) vertices joined entirely by blue edges. The question of how large \(n\) must be to guarantee this is a major open problem in combinatorics, on which there has been major progress.
Ramsey’s theorem has many variants and generalizations. For example, one can consider more colours, or one can look at hypergraphs instead of graphs, or one can attempt to find monochromatic subgraphs other than cliques. This talk will discuss the quantitative aspects of these related problems. For most of them, there are large gaps between the best known upper and lower bounds, but there has been interesting progress on several of them, some of which is quite recent.
Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.
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Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Suite à des travaux de Shimura et d’autres, Deligne a énoncé une conjecture reliant les valeurs de fonctions \(L\) des motifs sur \(\mathbb{Q}\) en certains points entiers à des périodes d’intégrales de formes différentielles algébriques sur les classes d’homologie rationnelle. Cette conjecture a été le point de départ d’une série de conjectures de plus en plus précises sur les valeurs exactes des fonctions \(L\) motiviques aux points entiers, et il existe une vaste littérature traitant de nombreux exemples de ces conjectures en utilisant les méthodes de la théorie des formes automorphes. Cependant, l’une des familles d’exemples qui ont motivé la conjecture initiale de Deligne —le cas des puissances symétriques des motifs attachés aux formes modulaires classiques— est restée inaccessible pendant plus de 40 ans. Dans un travail remarquable récent, Shih-Yu Chen a résolu cette conjecture pour les formes modulaires de poids au moins \(5\). J’expliquerai les grandes lignes de l’argument de Chen, d’une virtuoisité encyclopédique quant aux méthodes mises en jeu et développées par les spécialistes —y compris par Chen lui-même— depuis la parution de l’article où Deligne énonce sa conjecture. Une généralisation des résultats récents de Harder et Raghuram sur la cohomologie d’Eisenstein joue un rôle central dans la démonstration de Chen.
Soit \(X\) une variété algébrique complexe projective et lisse. Une question ancienne de Borel et Haefliger demande si toute sous-variété algébrique de \(X\) (possiblement singulière) est homologiquement équivalente à une combinaison linéaire à coefficients entiers de sous-variétés algébriques lisses de \(X\). En général, cette question est trop optimiste, et on y connaît des contre-exemples depuis longtemps. Le but de cet exposé est d’expliquer comment János Kollár et Claire Voisin ont apporté une réponse positive à la question de Borel et Haefliger, pour les sous-variétés de dimension inférieure à la moitié de la dimension de \(X\).
Ulam a conjecturé en 1961 que la plus longue sous-suite croissante dans une permutation de \(\lbrace 1, \dots, n\rbrace\) choisie au hasard uniformément a une longueur de l’ordre de \(\sqrt{n}\). On sait aujourd’hui que lorsque \(n\) tend vers l’infini, cette longueur fluctue autour de \(2\sqrt{n}\) selon la loi de Tracy–Widom, initialement introduite pour décrire les fluctuations de valeurs propres de matrices aléatoires. Que peut-on dire plus précisément de la, ou des, sous-suites de longueur maximale ? Cette suite d’entiers aléatoires, correctement renormalisée, converge vers une courbe fractale particulière. Fort différente d’un mouvement Brownien, elle est définie comme la géodésique associée à un champ de distances aléatoire appelé le paysage dirigé.
Ce champ aléatoire a été introduit récemment par Dauvergne, Ortmann et Virág. Loin de concerner seulement les permutations aléatoires, le paysage dirigé est la limite d’échelle universelle des modèles de la classe de Kardar–Parisi–Zhang, incluant modèles de croissance d’interface, percolation de premier ou dernier passage, systèmes de particules en interaction, et bien d’autres modèles. La construction du paysage dirigé s’appuie sur une étonnante propriété d’isométrie de la correspondance de Robinson–Schensted–Knuth. Après avoir expliqué les motivations physiques, nous verrons pourquoi et comment cette isométrie intervient dans la construction, et nous discuterons de quelques-unes des remarquables propriétés du paysage dirigé.
Ramsey’s theorem states that if \(N\) is sufficiently large, then no matter how one colors the edges among \(N\) vertices with two colors, there are always \(k\) vertices spanning edges in only one color. Given this theorem, it is natural to ask "how large is sufficiently large?" Ramsey’s original proof showed that \(N=k!\) is sufficient, and five years later Erdős and Szekeres improved this bound to \(N=4^k\). And then progress stalled for almost 90 years.
In this talk, I will present the history of the problem, and discuss some of the ideas used in the recent breakthrough of Campos–Griffiths–Morris–Sahasrabudhe, who proved that \(N=3.993^k\) is sufficient. In particular, I will try to highlight the central role of book graphs, which play an important role in all known approaches to this problem.
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