Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
L'entrée est libre.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, Amphithéâtre Choquet-Bruhat), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Une équation hamiltonienne est un système dynamique où l’évolution d’un état est déterminée par une fonction appelée Hamiltonien, qui décrit l’énergie totale du système. Pour certaines équations hamiltoniennes, dites intégrables, il est possible de trouver des coordonnées dans lesquelles l’évolution temporelle se réduit à un système d’équations linéaires, permettant ainsi une analyse explicite. Cet exposé a pour objectif de décrire les notions classiques d’intégrabilité pour les équations différentielles en dimension finie, puis d’expliquer comment ces concepts se transposent en dimension infinie, dans le cadre des équations aux dérivées partielles. La principale difficulté réside dans la construction d’un système de coordonnées adapté. En particulier, on mettra en évidence le rôle central joué par l’opérateur de Lax, qui permet notamment de construire des lois de conservation le long des trajectoires du système.
Cet exposé sera une introduction au champ libre gaussien (CLG), en particulier en dimension 2. Il s’agit d’une fonction généralisée gaussienne, correspondant à des bosons scalaires sans interactions. Je vais présenter des notions classiques comme les puissances renormalisées du CLG (Wick) et les exponentielles renormalisées (chaos multiplicatif gaussien). Je vais aussi présenter des développements plus récents concernant le lien avec les processus SLE, ainsi que les représentations par le mouvement brownien.
Pour décrire les collisions entre particules chargées dans des plasmas, Lev Landau a introduit un modèle cinétique - voisin de l’équation de Boltzmann - dont le traitement mathématique est particulièrement riche. L’équation peut être décrite comme une équation parabolique non linéaire (à coefficients non constants et singuliers). Le but de l’exposé est d’introduire les propriétés qualitatives des solutions de l’équation (décroissance de l’entropie, régularité) et les développements les plus récents concernant la théorie de Cauchy pour cette équation (ou, plus généralement, solutions d’équations similaires comme l’équation de Landau isotrope) et la régularité des solutions. On essaiera de faire le point sur ces questions jusqu’au résultat fondamental de Silvestre et Guillen.
Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.
L'entrée est libre.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
The so-called inverse spectral method was used in the years 1970 to give precise informations on the long time behaviour for several partial differential equations such as the KdV equation. In these works the spectral problem was a local one and reduced to fine analysis of ordinary differential equations. It was a longstanding open problem to perform the inverse spectral method for equations presenting non local spectral problems. This problem was recently solved in the context of the Benjamin-Ono equation. In this talk, we will present these developments together with the closely related analysis of the so-called cubic Szegö equation.
L’équation de Landau (1936) permet de modéliser les collisions entre particules chargées dans un plasma. Cette équation peut être considérée mathématiquement pour une large gamme de potentiels d’interaction mais le seul cas pertinent physiquement est celui correspondant à un potentiel de Coulomb. Il s’agit d’un cas limite de l’équation de Boltzmann pour potentiel coulombien. La version homogène en espace de l’équation de Landau Coulomb a reçu une attention importante depuis de nombreuses années. Des travaux ont permis de développer une théorie de Cauchy de solutions (très) faibles pour cette équation. Des résultats de régularité partielle ou conditionnelle, d’existence en temps court ont également été obtenus plus ou moins récemment mais la question de l’existence globale de solutions fortes est restée ouverte jusqu’au travail récent de Guillen et Silvestre. Dans ce papier, les auteurs prouvent que l’information de Fisher est décroissante le long du flot de solutions, ce qui leur permet en particulier de prouver que les solutions de l’équation de Landau Coulomb n’explosent jamais.
We will report on a series of recent results by Guillarmou, Kupiainen, Rhodes and others on the probabilistic construction of the 2D Liouville quantum field theories. We will cover Segal’s axioms and their probabilistic implementation in the context of the free field. If time permits, we will discuss the kind of problems arising when constructing interacting field theories, as well as the link to conformal field theories and the Virasoro algebra.
Le but de la théorie de l’homotopie, en topologie, c’est de simplifier, après déformation continue, des applications continues entre espaces topologiques. Ce qui empêche de le faire, ce sont des invariants homotopiques. Cela soulève des questions quantitatives :
— Le calcul des invariants est-il possible (décidable) ? Si oui, à quel coût ?
— Construire des représentants de faible complexité et dont les valeurs des invariants sont prescrites est-il possible ? Si oui, à quel coût ?
— Quelle est la complexité des déformations nécessaires ?
Les réponses, souvent récentes, sont d’une grande diversité. En outre, bien des questions restent ouvertes, montrant que la topologie n’a pas dit son dernier mot, même en basses dimensions.
Des brochures contenant les exposés du Séminaire Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance.
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