Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
L'entrée est libre.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Le but de cet exposé est de présenter certaines méthodes mathématiques développées pour l’étude du gaz de Bose, en particulier dans le but d’établir la condensation de Bose-Einstein. Cette dernière correspond à une transition de phase au cours de laquelle une fraction macroscopique des particules occupe un même état quantique. Nous commencerons par décrire le cas du gaz idéal, pour lequel ce phénomène apparaît de manière explicite. Nous discuterons ensuite les difficultés majeures qui surgissent en présence d’interactions, et qui font encore de la condensation dans la limite thermodynamique un problème largement ouvert en physique mathématique. Enfin, nous nous concentrerons sur des modèles effectifs, tels que le régime de champ moyen et la limite de Gross–Pitaevskii, pour lesquels des méthodes variationnelles permettent d’obtenir une description précise de l’état fondamental ainsi que de la condensation.
Nous expliquerons l’origine et la signification du seuil 1/4 dans la théorie spectrale des surfaces hyperboliques. Les développements récents sur les surfaces hyperboliques aléatoires, qui feront l’objet de l’exposé de Bram Petri, mettent en évidence le caractère universel de ce seuil dans le cadre probabiliste. Au passage, nous rappellerons la formule des traces de Selberg, qui fournit un lien fondamental entre données spectrales et géométrie des courbes fermées sur les surfaces hyperboliques.
Nous présentons une technique introduite par Anosov et Katok en 1970 permettant de construire des systèmes dynamiques exotiques comme limites de difféomorphismes conjugués à des rotations.
Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.
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Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Soit \(d_n\) la densité maximale d’un empilement de sphères dont les centres forment un réseau de l’espace euclidien à \(n\) dimensions. On expliquera comment Bo’az Klartag a démontré l’inégalité \(d_n \geq c n^2 2^{-n}\) où \(c>0\) est une constante universelle. En très grande dimension, même pour des empilements de sphères non nécessairement liés à un réseau, cette nouvelle borne inférieure est un progrès substantiel.
La preuve de Klartag repose sur la méthode probabiliste en combinant deux utilisations du hasard. La première, très classique, consiste à étudier les propriétés statistiques d’un réseau choisi uniformément au hasard. La seconde, novatrice, considère le processus d’évolution stochastique d’un ellipsoïde contraint à ne contenir, en dehors de l’origine, aucun point du réseau dans son intérieur.
Le but de cet exposé est d’expliquer trois résultats sur la première valeur propre (la note fondamentale) du Laplacien d’une surface hyperbolique aléatoire de grand genre. Les travaux de Huber et Cheng des années 1970 impliquent que, pour toute suite de surfaces fermées dont le genre tend vers l’infini, la limite de la note fondamentale ne peut pas excéder \(1/4\), le bas du spectre du plan hyperbolique. La question de l’optimalité de cette borne a été ouverte pour longtemps. Nous commencerons par le travail de Hide et Magee qui utilisent un modèle aléatoire basé sur des revêtements pour construire la première suite de surfaces fermées dont la note fondamentale tend vers \(1/4\). Après, nous discuterons le travail de Anantharaman et Monk qui montre que ce comportement est aussi typique pour une surface de grand genre tiré au hasard avec la mesure de Weil–Petersson, une sorte de mesure de Lebesgue sur l’espace de modules de surfaces hyperboliques de genre fixé. Enfin, nous parlerons du travail de Hide, Macera et Thomas, qui donne une nouvelle démonstration du dernier résultat et qui fournit une borne polynomiale sur la distance entre la note fondamentale d’une surface aléatoire et \(1/4\).
L’exemple plus simple d’une dynamique sur une surface sans point périodique est une rotation irrationnelle de l’anneau. On peut alors se demander si tout difféomorphisme sans point périodique est (conjugué à) une rotation. Dans les années 1970, Anosov et Katok ont construit le premier exemple d’une pseudo-rotation (c’est-à-dire un difféomorphisme symplectique sans point périodique) lisse et transitive de l’anneau ; un tel difféomorphisme ne peut pas être conjugué à une rotation. La question de savoir si une construction analogue est réalisable en classe analytique restait ouverte : dans les années 1930, Birkhoff conjecturait que toute pseudo-rotation analytique de l’anneau est conjuguée à une rotation. Pierre Berger a réfuté cette conjecture en montrant que la construction d’Anosov–Katok peut s’adapter au cas analytique, via un théorème d’approximation des difféomorphismes lisses par des commutateurs de certaines applications analytiques. Berger construit également des pseudo-rotations analytiques sur la sphère de dimension 2, obtenant ainsi le premier exemple analytique de point fixe elliptique instable sur cette variété.
Les bosons sont un type de particules quantiques dont le comportement collectif possède de remarquables propriétés physiques: condensation de Bose–Einstein, superfluidité... Mathématiquement, ces propriétés sont encore mal comprises si l’on tient compte des interactions entre particules. Par exemple, le fait qu’un système thermodynamique de bosons (c’est-à-dire la limite lorsque \(N\to+\infty\) de \(N\) bosons dans un volume \(V\) avec \(N/V=\rho\) fixé) se condense reste une conjecture. Des progrès majeurs ont été néanmoins obtenus récemment concernant l’énergie par unité de volume d’un tel système. En 2020, Fournais et Solovej ont achevé la démonstration de la célèbre formule de Lee-Huang-Yang, dérivée en 1957, qui donne les deux premiers termes de l’asymptotique de cette énergie dans la limite diluée \(\rho\to 0\). Dans cet exposé, j’expliquerai comment obtenir ces asymptotiques ainsi que le lien avec la question de la condensation.
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