Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
L'entrée est libre.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
La cohomologie d’une variété algébrique \(X\) est enrichie d’une donnée d’algèbre linéaire qui s’appelle structure de Hodge. La conjecture de Hodge prédit que les sous-variétés de codimension \(k\) de \(X\) sont controlées par la structure de Hodge de \(X\) de degré cohomologique \(2k\). Cette conjecture n’est connue que pour \(k=1\) (Lefschetz). Toutes ces notions sont très visibles dans le cas d’une variété abélienne : sa cohomologie, sa structure de Hodge et la conjecture de Hodge pour \(k=1\). De plus, certaines variétés abéliennes possèdent des classes de Weil, ce sont la première instance du fait que la conjecture de Hodge pour \(k=1\) n’est pas suffisante pour les \(k\) supérieurs.
Attachés aux groupes, les invariants de remplissage homologiques constituent un raffinement quantitatif des propriétés de finitude en faisant intervenir le volume des chaînes. Au début des années 1990, Gromov et Thurston formulèrent des conjectures au sujet des invariants de remplissage de groupes, comme \(\mathrm{SL}(n,\mathbf Z)\), affirmant que la géométrie d’un groupe ambiant, comme le groupe de Lie \(\mathrm{SL}(n,\mathbf R)\), se reflète dans ces invariants : le rang du groupe ambiant marque le seuil d’une transition entre des régimes polynomiaux et (presque) exponentiels. Ce phénomène a été progressivement confirmé par Lubotzky–Mozes–Raghunathan, Leuzinger–Pittet, Druţu et Young notamment, aboutissant à une résolution des conjectures par Leuzinger–Young vers 2017. La polynomialité des invariants de remplissage aux degrés sous le seuil a plus récemment joué un rôle dans l’obtention d’annulations en cohomologie unitaire par Bader–Sauer. Cet exposé proposera une introduction à quelques-unes des méthodes géométriques et ergodiques de Leuzinger–Young et leurs prédécesseur-e-s, illustrée par des exemples.
Cet exposé porte sur le problème de la dérivation rigoureuse des équations aux dérivées partielles de la mécanique des fluides à partir des équations cinétiques, ce qui est en lien avec le sixième problème de Hilbert. Dans un premier temps, nous expliquerons comment les résultats récents de Deng, Hani et Ma sur la dérivation de l’équation de Boltzmann à partir d’un système de particules permettent désormais d’obtenir un résultat de dérivation complet, reliant la description microscopique à la description macroscopique. Dans un second temps, nous nous concentrerons plus spécifiquement sur le problème de la dérivation de l’équation de Navier–Stokes incompressible à partir de l’équation de Boltzmann.
Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.
L'entrée est libre.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
The “AKE principles” of Ax, Kochen, and Ershov, have at their heart an axiomatization of the first-order theories of henselian valued fields of residue characteristic zero. This work yields the famous asymptotic transfer principle for first-order sentences between the local fields of mixed and positive characteristics. Fontaine’s tilt of a ring \(R\) is the inverse limit \(R^{\flat}\) of copies of the ring \(R/p\) with transition maps given by Frobenius \(x\mapsto x^{p}\), and in celebrated work, Scholze prove that tilting is then an equivalence between the category of perfectoid rings over \(K\) and the category of perfectoid rings over \(K^{\flat}\).
The aim of this talk is to explain a new contribution of Jahnke and Kartas, who have introduced an elementary class \(\mathcal{C}\) of valued fields, containing the perfectoid fields, and proved a range of AKE priciples in this context, including for the first time valued fields admitting nontrivial defect extensions. From their work one obtains a non-standard version of the Almost Purity theorem of Scholze, and the Fontaine–Wintenberger theorem. This should be seen in the context of Kuhlmann’s tame valued fields are another setting in which there is an Ax–Kochen/Ershov-like theory, as well as important earlier work of Kuhlmann and Rzepka on the valuation theory of deeply ramified fields, and of Kartas which showed the transfer of decidability problems via tilting. More recently, Rideau-Kikuchi, Scanlon, and Simon have formalized the tilt as a bi-interpretation in continuous logic.
La conjecture de Hodge porte sur la topologie et la géométrie analytique des variétés projectives complexes \(X\). Elle prédit grosso modo l’existence de sous-variétés algébriques de \(X\) ayant une classe de cohomologie donnée, à condition que cette classe soit une classe de Hodge. Le seul cas connu en général est celui des hypersurfaces (classes de degré \(2\)). Bien qu’il soit difficile de construire des classes de Hodge sur des variétés algébriques, il existe des exemples explicites produits par des procédés formels. C’est en particulier le cas des classes de Hodge, dites de Weil, sur les variétés abéliennes de Weil, qui sont des tores complexes algébriques admettant un endomorphisme quadratique. Je décrirai la stratégie qui a permis à Eyal Markman de démontrer la conjecture de Hodge pour les classes de Weil sur les variétés abéliennes de Weil de dimension \(4\), ce qui entraîne la conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes de dimension au plus \(5\), grâce à des résultats antérieurs.
On considère un système microscopique de \(n\) sphères dures initialement indépendantes (modulo l’exclusion entre particules) et identiquement distribuées dans l’espace \(\mathbb R^3\). Dans la limite où leur nombre \(n\) tend vers l’infini et leur diamètre \(\varepsilon\) vers \(n\), sous l’hypothèse de faible densité \(n \varepsilon^2 = 1\), il est connu depuis les travaux de Lanford que la mesure empirique des particules se concentre sur la solution de l’équation de Boltzmann sur un temps court. En particulier, les particules restent dynamiquement indépendantes dans cette limite, et sur ce temps court où les corrélations induites par les collisions sont bien contrôlées. Dans un travail récent, Y. Deng, Z. Hani et X. Ma ont réussi à obtenir le même résultat de convergence sur un temps arbitrairement grand : plus précisément la convergence a lieu aussi longtemps qu’existe une solution régulière à l’équation de Boltzmann. Dans cet exposé nous présenterons quelques éléments de la preuve de ce résultat.
La cohomologie à valeurs dans des représentations unitaires a de multiples applications en-dehors de la pure théorie des groupes : en arithmétique et en géométrie notamment. La situation où le groupe considéré est un groupe de Lie, et celle où c’est un groupe discret, sont liées (par induction) quand ce dernier est un réseau d’un groupe de Lie. Classiquement, on passe ainsi de calculs de cohomologie de groupes discrets à des calculs de cohomologie à coefficients unitaires pour des groupes de Lie semi-simples. Les coefficients sont plus gros mais le groupe ambiant a une structure bien comprise, qui rigidifie la situation ; au moyen de réductions supplémentaires, on est ramené à des calculs de cohomologie relative d’algèbres de Lie (Borel et Wallach). Les travaux de Bader et Sauer permettent de se passer de l’hypothèse de cocompacité des réseaux et fournissent, entre autres, des résultats d’annulation jusqu’au rang du groupe de Lie ambiant. Les techniques utilisées reposent sur une combinaison d’algèbre homologique et d’analyse fonctionnelle, ainsi que sur l’usage inédit d’ingrédients de théorie géométrique des groupes.
Des brochures contenant les exposés du Séminaire Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance.
Pour recevoir à l'avance le programme et les résumés de chaque séminaire, veuillez vous abonner en
envoyant un mail à
Pour recevoir les annonces des prochains séminaires : écrire un message à
cette adresse.
Vous pouvez aussi ajouter à vos calendriers électroniques les agendas hébergés sur le portail Indico : Séminaire Bourbaki du vendredi et Séminaire Bourbaki (format iCalendar)
Un soutien du CNRS couvre une partie des frais d'organisation de ce Séminaire.