Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Lors du congrès international des mathématiciens en 1900, Hilbert énonça le problème de l’axiomatisation de la physique. Plus précisément, il posa la question de la transition des modèles constitués d’atomes à des modèles continus dans le contexte de la dynamique des gaz. Il suggéra alors d’utiliser l’équation de Boltzmann comme une étape intermédiaire dans ce passage de l’échelle microscopique à l’échelle macroscopique. Ce ne fut que bien plus tard, en 1975, que Lanford fut le premier à proposer un schéma de preuve pour la dérivation en temps court de l’équation de Boltzmann en partant des équations de la mécanique classique. Lanford ayant posé les jalons de la preuve, celle-ci fut alors par la suite complétée par de nombreux auteurs. On s’intéressera en particulier aux récentes contributions apportées par Bodineau, Gallagher, Saint-Raymond et Texier.
Je retracerai l’histoire des conjectures de Weil sur le nombre de solutions d’équations polynomiales dans un corps finis et quelques unes des approches qui ont été proposées pour les résoudre.
The central questions of ergodic theory concern the convergence of various averages, taken over the orbits of a dynamical system. If the averages in question are taken over consecutive elements of an orbit, Birkhoff’s foundational ’pointwise ergodic theorem’ shows that they all converge (apart from at a zero measure set of orbits). Applications include the strong law of large numbers and certain properties of the continued fraction expansion of irrational numbers. In this introductory talk, we will sketch the classical ’density’ proof of Birkhoff’s result, before discussing the challenges of generalising this proof to the setting of sparser averages over the orbits — averages over higher degree polynomial values, say. In particular, we will expose a few of the ideas from Bourgain’s hugely creative works of the late 1980s, which establish a link between questions of pointwise convergence and estimates in discrete harmonic analysis. Exponential sums enter the picture: we will analyse the simplest arithmetic examples, with a focus on Weyl’s inequality for an exponential sum of monomials.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Soit \(f\) une forme modulaire pour un sous-groupe d’indice fini de \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})\) dont les coefficients de Fourier sont algébriques. Il résulte de la théorie classique des formes modulaires que les coefficients de \(f\) sont à dénominateurs bornés lorsque le sous-groupe est de congruence. À la fin des années 60, Atkin et Swinnerton-Dyer ont conjecturé que, réciproquement, une forme à dénominateurs bornés est toujours modulaire pour un sous-groupe de congruence. J’expliquerai une preuve récente de cette conjecture due à Calegari, Dimitrov et Tang. Elle repose sur de belles interactions entre un nouveau théorème d’algébricité pour les séries entières, la théorie de Nevanlinna pour des uniformisations explicites du plan complexe privé des racines de l’unité et le fait que \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}[1/p])\) possède la propriété des sous-groupes de congruence.
L’obtention d’une justification rigoureuse de la théorie cinétique des gaz à partir du principe fondamental de la dynamique, dû à Newton, pour un grand nombre de sphères identiques interagissant par collisions binaires élastiques, est un problème formulé par Hilbert en 1900 (6e problème). En 1975, Lanford a démontré la validité de l’équation de Boltzmann sur un intervalle de temps très court, de l’ordre d’une fraction du laps de temps moyen entre deux collisions successives subies par une même particule. Ce résultat de Lanford peut être interprété comme une sorte de loi des grands nombres lorsque le nombre de particules tend vers l’infini. Ce point de vue pose plusieurs questions.
D’abord, le cœur de l’argument utilisé par Boltzmann pour aboutir à l’équation portant son nom est l’hypothèse que deux particules sur le point d’entrer en collision sont presque indépendantes statistiquement. Ceci suggère d’examiner la validité de cette hypothèse en étudiant la dynamique des corrélations entre particules. D’autre part, l’interprétation de l’équation de Boltzmann comme loi des grands nombres conduit à étudier précisément les fluctuations de la mesure empirique dans l’espace des phases autour de sa moyenne (dont l’évolution est décrite par l’équation de Boltzmann). Une série d’articles récents de T. Bodineau, I. Gallagher, L. Saint-Raymond et S. Simonella répond à ces diverses questions et permet d’aller au-delà de l’équation de Boltzmann dans la compréhension de la théorie cinétique des gaz.
In this talk, we will explain how Bourgain combined elementary computation with a deep understanding of the entropic method to prove his pointwise ergodic theorem. The focus throughout will be on the intuition and heuristic which led him to his proof.
Le théorème d’approximation de Lang–Weil donne une estimation du nombre de points dans une variété \(V\) (géométriquement intègre) sur un corps fini \(F\): il y en a de l’ordre de \(|F|^d\) où \(d\) est la dimension de la variété \(V\). Puisque \(F\) est le corps fixé d’un automorphisme de Frobenius \(\phi\), cette question peut se reformuler comme celle d’estimer le nombre de points dans l’intersection de la diagonale de \(V^2\) avec le graphe de \(\phi\). Dans cette exposé, nous considérerons une généralisation, due à Hrushovski, de cet énoncé à d’autres variétés que la diagonale et nous exposerons les ingrédients d’une preuve récente par Shuddhodan et Varshavsky.
Nous exposerons aussi certaines des nombreuses conséquences de cet énoncé en dynamique algébrique, ainsi qu’en théorie des modèles. L’une d’entre elle, particulièrement frappante, est que, de même qu’Ax avait pu, grace aux estimations de Lang–Weil, donner une caractérisation de la « théorie des corps finis », ces estimations tordues permettent de caractériser la « théorie des automorphismes de Frobenius » et de montrer que c’est la théorie d’un automorphisme générique.
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