Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
L'entrée est libre.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
L’un des buts du programme de Langlands, c’est d’utiliser les représentations linéaires de certains groupes « continus » de matrices (comme \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\) ou \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{Q}_p))\)) pour éclairer des aspects de la théorie des nombres — par exemple les propriétés de certaines fonctions holomorphes ayant une signification arithmétique, comme la fonction zêta de Riemann.
Pour associer à l’analyse harmonique d’un groupe réductif \(G\) de telles « fonctions \(L\) », Langlands a introduit en 1967 un « médiateur ». C’est un groupe \({}^L G\), défini en utilisant la structure algébrique de \(G\), à partir duquel la construction de fonctions \(L\) est relativement simple ; on conjecture qu’il a des liens profonds avec l’analyse harmonique sur \(G\).
J’essaierai de présenter ce « groupe dual \({}^L G\) » et son rôle dans la théorie, en commençant par les exemples les plus simples.
Dans la démonstration de la conjecture de Helffer et Nourrigat par Androulidakis, Mohsen et Yuncken, le calcul pseudodifférentiel sur les groupoïdes de Lie joue un rôle crucial.
Nous parlerons donc de groupoïdes de Lie, et en donnerons plusieurs exemples. Nous discuterons la notion cruciale de groupoïdes de déformation. Nous présenterons enfin le calcul différentiel et pseudodifférentiel sur un groupoïde, ainsi que ses liens avec les groupoïdes de déformation.
On considère l’équation semi-linéaire des ondes avec une non-linéarité en puissance dans le régime sous-conforme. L’existence de solutions explosives découle des techniques classiques d’énergie ou d’équations différentielles ordinaires (EDO). Étant donnée une solution explosive arbitraire, grâce à la vitesse finie de propagation, on peut facilement voir que le temps d’explosion dépend de l’espace. On le note alors à l’aide d’une fonction \(T(x)\) uniformément lipschitzienne. Dans cet exposé, on s’intéresse au comportement asymptotique de la solution autour d’un point singulier donné \((x_0,T(x_0))\). En dimension un, cette question est entièrement résolue, conformément à la célèbre « conjecture de résolution en solitons ». En effet, localement autour de chaque \(x_0\), la solution se rapproche d’une somme finie de « solitons » découplés, qui sont des solutions auto-similaires explicites. La preuve repose de manière cruciale sur l’existence d’une fonctionnelle de Lyapunov en variables auto-similaires.
En dimension supérieure, la situation est plus délicate, en raison de l’absence d’une classification complète de toutes les solutions auto-similaires dans l’espace d’énergie. Néanmoins, nous obtenons certains résultats surprenants, comme une configuration à 4 solitons en dimension 2, où le graphe d’explosion prend localement la forme d’une pyramide.
On évoquera également certaines généralisations de ces résultats en dehors du cas d’une simple non-linéarité en puissance.
Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.
L'entrée est libre.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
We shall discuss a recent work of Ben-Zvi, Sakellaridis, and Venkatesh which proposes a new paradigm for the relative Langlands program. The relative Langlands program is traditionally associated with the study of periods integrals of automorphic forms and their relation to analytic properties of \(L\)-functions. An earlier work of Sakellaridis and Venkatesh had proposed that the framework for this study should be that of spherical varieties. Ben-Zvi, Sakellaridis, and Venkatesh propose a larger framework for the relative Langlands program, that of hyperspherical varieties, which is a class of symplectic varieties with a Hamiltonian group action. With this larger framework, they envision a duality operation on hyperspherical varieties which explains many examples and phenomena already studied in the literature. This purported duality is partially motivated by a duality of boundary conditions induced by the \(S\)-duality of \(4d\) topological quantum field theories, via its connection with the geometric Langlands duality.
Une des questions fondamentales de la théorie analytique des nombres est de comprendre la distribution des valeurs centrales d’une famille de fonctions \(L\), par exemple \(L(\frac{1}{2}, \chi)\) lorsque \(\chi\) parcourt tous les caractères de Dirichlet quadratiques. Dans ce cas, une conjecture de Conrey–Farmer–Keating–Rubinstein–Snaith prédit le comportement asymptotique de leurs moments. Je présenterai des travaux récents de Bergström–Diaconu–Petersen–Westerland et Miller–Pazt–Petersen–Randal-Williams établissant l’analogue de cette conjecture sur les corps de fonctions. Dans ce cadre, la formule de traces de Grothendieck–Lefschetz réduit l’étude des moments à celle de la cohomologie d’un espace de modules de courbes hyperelliptiques à coefficients dans un système local symplectique, et il s’agit alors de démontrer un théorème de stabilité homologique du même style que la conjecture de Mumford (théorème de Madsen–Weiss) pour l’espace de modules de toutes les courbes. J’expliquerai les grandes lignes des arguments de topologie algébrique qui permettent de le faire, notamment le rôle des « applications de scanner ».
On étudie ici la géométrie sous-riemannienne sur une variété \(M\) induite par une famille finie \(F\) de champs de vecteurs satisfaisant la condition de Hörmander, ainsi que les opérateurs différentiels obtenus comme polynômes en les éléments de \(F\). Un tel opérateur \(D\) est hypoelliptique si, pour toute fonction lisse \(f\), les solutions \(u\) de l’équation \(Du=f\) sont elles aussi lisses. Une notion plus fine, celle des opérateurs hypoelliptiques maximaux, étend cette propriété en termes de régularité Sobolev, offrant un parallèle, en géométrie sous-riemannienne, aux opérateurs elliptiques.
En 1979, Helffer et Nourrigat ont proposé une conjecture caractérisant l’hypoellipticité maximale, généralisant le théorème principal de régularité des opérateurs elliptiques. Cette conjecture a été récemment confirmée grâce à des outils de géométrie non commutative. Un élément central de ce travail est une généralisation naturelle en géométrie sous-riemannienne, introduite par Mohsen, du groupoïde tangent de Connes, dans lequel apparaissent tous les cônes tangents, ingrédients clés dans le travail de Helffer et Nourrigat. En collaboration avec Androulidakis et Yuncken, Mohsen a développé un calcul pseudodifférentiel dans ce contexte, introduisant notamment la notion de symbole principal. Ils obtiennent que l’inversibilité de ce symbole équivaut à l’hypoellipticité maximale, validant ainsi la conjecture.
Cet exposé présentera les ingrédients et les grandes lignes de ces avancées novatrices.
La conjecture de résolution en solitons est un énoncé général, étayé par de nombreuses simulations numériques, qui décrit la dynamique des équations aux dérivées partielles dispersives non linéaires. Elle affirme, que de façon générique, les solutions se comportent en temps grand comme une somme de solitons découplés. Les solitons sont des solutions rigides et très spécifiques : selon le contexte, il peut s’agir d’ondes progressives ou de solutions stationnaires, minimales dans un certain sens. Un des grands succès de la méthode du scattering inverse est la preuve de la résolution en solitons pour certaines équations intégrables, comme l’équation de Korteweg–de Vries. Je vais décrire des progrès récents concernant cette conjecture, pour des EDP de type ondes avec une non linéarité de type « énergie-critique » (qui ne sont pas intégrables), issus d’une série de travaux de Duyckaerts–Kenig–Merle et collaborateurs, et de Jendrej–Lawrie.
Des brochures contenant les exposés du Séminaire Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance.
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